1992-三南-03 单-反三角函数的求值

本题导读

本题考查反三角函数的求值，以及各反三角函数主值范围的掌握。

📌【题干】

Question

（1992年三南） $\frac{\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}-\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)}{\arctan (-\sqrt{3})}$ 的值等于 ()

A. 1　　　　　　　　　B. 0　　　　　　　　　C. $-\frac{2}{5}$　　　　　　　　　D. $-\frac{6}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$，$\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$，$\arctan (-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$，代入得 $\frac{-\pi /3}{-\pi /3}=1$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由反三角函数的主值范围：$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$，$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$，$\arctan (-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$。故原式 $=\frac{\frac{\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}}{-\frac{\pi }{3}}=\frac{-\pi /3}{-\pi /3}=1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的求值

核心方法：$\frac{\frac{\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}}{-\frac{\pi }{3}}=\frac{-\pi /3}{-\pi /3}=1$

避坑指南：代入反三角函数主值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角函数主值范围的综合运算

结论推广：$\arcsin ,\arccos ,\arctan$ 主值分别为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],[0,\pi ],(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

方法推广：逐项代入主值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1993-上海-14 单-反三角函数的大小比较
• 1993-新高考文-18 填-反三角函数的和角求值
• 1999-上海文-01 填-反三角函数的求值