1988-全国卷理-10 单-反三角函数求值

本题导读

本题考查反正切函数的定义与性质，以及两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） $\tan \left(\arctan \frac{1}{5}+\arctan 3\right)$ 的值等于 ()

A. $4$　　　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　　C. $\frac{1}{8}$　　　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\alpha =\arctan \frac{1}{5}$，$\beta =\arctan 3$，则 $\tan \alpha =\frac{1}{5}$，$\tan \beta =3$。
2. 原式化为 $\tan (\alpha +\beta )$，用两角和的正切公式： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
3. 代入数值计算。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

设： $\alpha =\arctan \frac{1}{5}\text{(1)}$ $\beta =\arctan 3\text{(2)}$

由反正切定义（$\arctan u=v$ 时 $\tan v=u$）： $\tan \alpha =\frac{1}{5}\text{(3)}$ $\tan \beta =3\text{(4)}$

原式化为： $\text{原式}=\tan (\alpha +\beta )\text{⑤}$

由两角和的正切公式： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\text{⑥}$

代入 ③、④： $\text{原式}=\frac{\frac{1}{5}+3}{1-\frac{1}{5}\times 3}\text{⑦}$

分子、分母分别计算： $\text{分子}=\frac{1}{5}+\frac{15}{5}=\frac{16}{5}\text{⑧}$ $\text{分母}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\text{⑨}$

相除： $\text{原式}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{16}{2}=8\text{⑩}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$\tan (\arctan x)=x$、两角和的正切公式。
2. 核心方法：换元代入法、公式法。
3. 避坑指南：
   • 注意分母符号：两角和的正切公式中，分母是“1 减两切之积”。若记成加号，会得 $\frac{16/5}{1+3/5}=2$，找不到选项。
   • 把 $\arctan x$ 看作一个角，换元去掉反三角符号，是处理反三角复合问题的常用方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 10 题，考查反三角函数与两角和的正切公式。
2. 结论推广：当 $xy<1$ 时，有反正切和角恒等式： $\arctan x+\arctan y=\arctan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ 本题 $x=\frac{1}{5},y=3$，$xy=\frac{3}{5}<1$，代入得 $\arctan \frac{1}{5}+\arctan 3=\arctan \left(\frac{\frac{1}{5}+3}{1-\frac{3}{5}}\right)=\arctan 8$ 所以 $\tan \left(\arctan \frac{1}{5}+\arctan 3\right)=\tan (\arctan 8)=8$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-12 单-反三角函数的复合
• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1990-广东理-11 单-反三角函数与奇偶性