1991-三南-11 单-点关于直线的对称点

本题导读

本题考查点关于直线对称的坐标求法，属于解析几何的基础运算。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 点 $(4,0)$ 关于直线 $5x+4y+21=0$ 的对称点是()

A. $(-6,8)$　　　　　　B. $(-8,-6)$　　　　　　C. $(6,8)$　　　　　　D. $(-6,-8)$

🔍【思路分析】

破题导航

用点关于直线的对称点公式，或联立”中点在直线上”与”连线垂直”两条件。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $P=(4,0)$，直线 $5x+4y+21=0$。令 $D=5\cdot 4+4\cdot 0+21=41$，且 $5^2+4^2=41$。对称点 $P\prime$ 坐标为 $\left(4-\frac{2\cdot 5D}{5^2+4^2},0-\frac{2\cdot 4D}{5^2+4^2}\right)=\left(4-10,-8\right)=(-6,-8)$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点关于直线的对称点

核心方法：点 P(4,0) 关于 5x+4y+21=0 的对称点，用公式得 (−6,−8)。

避坑指南：对称点公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点关于直线 Ax+By+C=0 对称有标准公式，亦可联立垂直+中点在直线上求。

结论推广：对称点公式：(x0−2A(Ax0+By0+C)/(A²+B²), y0−2B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))。

方法推广：对称点问题可用中点+垂直两条件统一处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-03 单-直线关于坐标轴的对称
• 1997-全国卷文-07 单-函数图象的对称性
• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程