1989-上海-23 解-夹角为45度的直线方程

本题导读

本题考查直线方程的求法。核心在于设斜率，用夹角公式。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 在直角坐标系 $xOy$ 中，过点 $P(-3,4)$ 的直线 $l$ 与直线 $OP$ 的夹角为 $45^{\circ }$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设直线 $l$ 的斜率为 $k$，用夹角公式求 $k$。

✅【答案】

Success

$x+7y-25=0$ 和 $7x-y+25=0$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $OP$ 的斜率 $k_{OP}=\frac{4-0}{-3-0}=-\frac{4}{3}$。设 $l$ 的斜率为 $k$，由夹角 $45^{\circ }$ 得 $\left|\frac{k+\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{3}k}\right|=1$，即 $3k+4=\pm (3-4k)$。解得 $k_1=-\frac{1}{7}$，$k_2=7$。故直线方程为 $y-4=-\frac{1}{7}(x+3)$ 和 $y-4=7(x+3)$，即 $x+7y-25=0$ 和 $7x-y+25=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：夹角为45度的直线方程

核心方法：设直线斜率，用夹角公式求方程。

避坑指南：夹角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：夹角公式。

结论推广：|k+4/3|/|1−4k/3|=1。

方法推广：两解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-01 单-两条直线垂直的斜率关系
• 1991-三南-11 单-点关于直线的对称点
• 1990-全国文-09 单-直线关于直线的对称