1990-上海卷-03 填-直线的方程

本题导读

本题考查直线方程的标准形式（一般式、点斜式），以及两直线平行的位置关系与系数特征。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 过点 $(1,2)$ 且与直线 $2x+y-1=0$ 平行的直线方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设定平行直线系：两直线平行时，它们一般式方程中的 $x$ 和 $y$ 的系数保持等比例关系。因此，可设与直线 $2x+y-1=0$ 平行的直线方程为 $2x+y+C=0$ ($C\ne -1$)．
2. 代入定点求解：将已知直线所过的定点 $(1,2)$ 的坐标代入设定的直线系方程中，求出未知常数 $C$ 的具体数值。
3. 整理最终方程：将 $C$ 的值代回原方程，化简为标准的一般式方程。

✅【答案】

Success

$2x+y-4=0$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（平行直线系法）： 因为所求直线与已知直线 $2x+y-1=0$ 平行， 所以可设所求的直线方程为： $2x+y+C=0$

又因为该直线经过定点 $(1,2)$，将点坐标代入所设方程中，得： $2\times 1+2+C=0⟹2+2+C=0⟹C=-4$

将 $C=-4$ 代回原设方程，得到所求直线方程为： $2x+y-4=0$

解法二（点斜式法）： 将已知直线 $2x+y-1=0$ 化为斜截式： $y=-2x+1$，可知其斜率 $k=-2$． 因为两直线平行，所以所求直线的斜率也为 $k=-2$． 又已知直线过点 $(1,2)$，由直线的点斜式方程公式得： $y-2=-2(x-1)$

展开并整理方程： $y-2=-2x+2⟹2x+y-4=0$

填空答案为：$2x+y-4=0$ （或 $y=-2x+4$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行直线的斜率特征（$k_1=k_2$），直线方程一般式与点斜式的转化关系。
2. 核心方法：
   • 平行直线系法：直接设 $Ax+By+C=0$，保留前面的系数不变，只解常数项。这是处理“求平行直线”最有效、最不容易在正负号上犯错的代数技巧。
3. 避坑指南：
   • 公式转换符号看错：在使用点斜式展开移项时，注意 $-2\times (-1)=2$，移项后要凑成一般式 $2x+y-4=0$，不宜将常数项算成 $0$ 或 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于平面解析几何中最基础的直线方程求解题，直接源自教材中“两条直线的位置关系”章节的课后习题，用以巩固学生对直线平行条件的代数化应用。
2. 结论推广：在平面直角坐标系中，已知直线 $l_1:Ax+By+C_1=0$：
   • 与 $l_1$ 平行的直线系方程可设为： $Ax+By+C=0$ ($C\ne C_1$)；
   • 与 $l_1$ 垂直的直线系方程可设为： $Bx-Ay+C=0$。 本题即为第一种平移直线系推广规律的直接呈现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1991-三南-11 单-点关于直线的对称点
• 1992-全国文-08 单-点关于直线的对称
• 1992-上海-06 填-直线关于坐标轴的对称