1990-全国文-24 解-含参对数不等式

本题导读

本题考查含参对数不等式的求解。核心在于先定定义域，再按底数大小分类讨论。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 已知 $a>0$，$a\ne 1$，解不等式 ${\log }_a(4+3x-x^2)-{\log }_a(2x-1)>{\log }_{a}2$.

🔍【思路分析】

破题导航

先由真数为正定定义域，再按 $a>1$ 与 $0<a<1$ 分类，利用对数单调性。

✅【答案】

Success

当 $a>1$ 时，$\left(\frac{1}{2},2\right)$；当 $0<a<1$ 时，$(2,4)$

✍【详细解析】

Abstract

由真数为正得 $4+3x-x^2>0$ 且 $2x-1>0$，即 $-(x-4)(x+1)>0$ 且 $x>\frac{1}{2}$，定义域 $\frac{1}{2}<x<4$。原不等式化为 ${\log }_a\frac{4+3x-x^2}{2x-1}>{\log }_{a}2$。（1）当 $a>1$ 时，$\frac{4+3x-x^2}{2x-1}>2$，因 $2x-1>0$，得 $6-x-x^2>0$ 即 $-(x+3)(x-2)>0$，结合定义域得 $\frac{1}{2}<x<2$。（2）当 $0<a<1$ 时，$\frac{4+3x-x^2}{2x-1}<2$，得 $-(x+3)(x-2)<0$，结合定义域得 $2<x<4$。综上，$a>1$ 时解集 $\left(\frac{1}{2},2\right)$，$0<a<1$ 时解集 $(2,4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参对数不等式

核心方法：先定定义域，再按底数大小分类讨论解对数不等式。

避坑指南：分类讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参对数不等式分类讨论。

结论推广：底数 a>1 增、0<a<1 减。

方法推广：注意定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解
• 1991-全国文-18 填-对数不等式的求解
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数