1987-广东文-24 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性判断，核心在于 $g(-x)$ 与 $g(x)$ 的关系。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\frac{3}{4}x+\frac{5\pi }{2}\right)$（$x\in \mathbf{R}$），$g(x)=\lg \left(\sqrt{2x+x^2}-x\right)$（$x\in \mathbf{R}$），则()

A. $f(x)$ 是奇函数，而 $g(x)$ 既不是奇函数，又不是偶函数 B. $f(x)$ 是偶函数，而 $g(x)$ 是奇函数 C. $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是奇函数 D. $f(x)$ 是偶函数，而 $g(x)$ 既不是奇函数，又不是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

$f(x)=\cos \frac{3}{4}x$ 偶；$g(x)=\lg (\sqrt{x^2+2x}-x)$ 的定义域 $\{x\le -2\}\cup \{x>0\}$ 不关于原点对称。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sin (\frac{3}{4}x+\frac{5\pi }{2})=\cos \frac{3}{4}x$ 是偶函数。$g(x)=\lg (\sqrt{x^2+2x}-x)$ 需 $x^2+2x\ge 0$ 且 $\sqrt{x^2+2x}-x>0$，解得定义域 $D=\{x\mid x\le -2$ 或 $x>0\}$，不关于原点对称（如 $1\in D$ 而 $-1\notin D$），故 $g$ 非奇非偶。故选 D（★裁定：官方答案册印”B”，但按原卷印刷题面 $\sqrt{2x+x^2}$ 复算 $g$ 非奇非偶，正确答案应为 D；B 成立当且仅当 $g(x)=\lg (\sqrt{x^2+1}-x)$（经典奇函数版本），疑原卷印刷致误，评分以官方 B 为准。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性

核心方法：$f(x)=\sin (\frac{3}{4}x+\frac{5\pi }{2})=\cos \frac{3}{4}x$ 为偶函数；$g(x)=\lg (\sqrt{x^2+2x}-x)$。

避坑指南：定义域 $\{x\le -2$ 或 $x>0\}$ 不关于原点对称（$1\in D$ 而 $-1\notin D$），$g$ 非奇非偶，答案 D（官方答案册 B 对应 $\sqrt{x^2+1}$ 经典版，原卷印刷疑误）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数奇偶性。

结论推广：诱导公式与对数奇函数。

方法推广：$f(-x)$ 与 $f(x)$ 关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性
• 1989-上海-16 单-奇函数的判断
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性