2000-广东卷理-05 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查根据函数解析式识别图象。先分析函数的奇偶性（确定图象的对称性），再判断原点右侧附近区间上函数值的符号，用排除法确定选项。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 函数 $y=-x\cos x$ 的部分图象是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：分析函数 $f(x)=-x\cos x$ 的奇偶性。利用 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，判断图象是关于 $y$ 轴对称还是关于原点对称，从而排除部分选项。
2. 第二步：考察函数在 $x$ 轴正半轴靠近原点区间（例如 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$）上的函数值符号，进一步排除不符合的图象。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=-x\cos x$。

首先判断奇偶性： $f(-x)=-(-x)\cos (-x)=x\cos x=-(-x\cos x)=-f(x)$ 所以 $f(x)$ 是奇函数，其图象关于原点成中心对称。 观察四个选项图象：(A)、(C) 均关于 $y$ 轴对称（偶函数图象特征），予以排除。

其次判断局部符号： 取区间 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，此时 $x>0$ 且 $\cos x>0$。 因此 $f(x)=-x\cos x<0$。 这意味着在 $y$ 轴右侧紧挨原点的区间内，函数图象应位于 $x$ 轴下方。 观察剩下的 (B)、(D) 两个选项：图 (B) 在原点右侧出发时图象在 $x$ 轴上方（$y>0$），予以排除；图 (D) 在原点右侧出发时图象在 $x$ 轴下方（$y<0$），符合要求。

正确选项为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的判定与图象特征；基本初等函数在特定区间的符号。
2. 核心方法：“定性特征排除法”。遇到“由式找图”或“由图找式”的选择题，一般流程是：一定义域，二奇偶性，三特殊点/区间符号，四单调性或变化趋势。
3. 避坑指南：容易忽略解析式开头的负号“$-$”。如果错看成 $y=x\cos x$，在判断 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时会得出 $y>0$ 的结论，从而误选 (B)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考常见的“识图题”，融合了直线 $y=-x$ 与三角函数 $y=\cos x$ 的乘积。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=x^n\cos x$ 或 $f(x)=x^n\sin x$ 的函数，其奇偶性由 $n$ 的奇偶性与三角函数的奇偶性共同决定；其图象夹在 $y=\pm x^n$ 之间（本题为 $y=\pm x$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性