1993-旧高考理-08 单-函数奇偶性的传递判定

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义，以及指数函数的恒等变形。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） $F(x)=\left(1+\frac{2}{2^x-1}\right)f(x)$ ($x\ne 0$) 是偶函数，且 $f(x)$ 不恒等于零，则 $f(x)$ ()

A. 是奇函数　　　　　　　　　　　　B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数　　　D. 不是奇函数也不是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

设辅助函数分析因式：令 $g(x)=1+\frac{2}{2^x-1}$。首先通过代入 $-x$ 检验该已知因式的奇偶性性质。 变形已知因式：对 $g(-x)=1+\frac{2}{2^{-x}-1}$ 进行通分及分子分母同乘 $2^x$ 化简，发现其与 $g(x)$ 互为相反数，即 $g(x)$ 是奇函数。 利用积的奇偶性推理：已知 $F(x)=g(x)\cdot f(x)$ 为偶函数。根据“奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数”的函数运算性质，可以直接断定 $f(x)$ 必须为奇函数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（定义变形通用法）： 设已知因式部分为函数 $g(x)$： $g(x)=1+\frac{2}{2^x-1}=\frac{2^x-1+2}{2^x-1}=\frac{2^x+1}{2^x-1}$

我们来检验 $g(x)$ 的奇偶性，计算 $g(-x)$： $g(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}$

分子与分母同时乘以 $2^x$ 进行指数化简： $g(-x)=\frac{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}=\frac{1+2^x}{1-2^x}$

分子保持不变，分母提取负号： $g(-x)=\frac{2^x+1}{-(2^x-1)}=-\frac{2^x+1}{2^x-1}=-g(x)$ 根据定义， $g(x)=1+\frac{2}{2^x-1}$ 是一个奇函数。

因为题目已知复合函数 $F(x)=g(x)\cdot f(x)$ 是偶函数，则满足 $F(-x)=F(x)$。 将定义式展开： $g(-x)\cdot f(-x)=g(x)\cdot f(x)$

将 $g(-x)=-g(x)$ 代入左端： $-g(x)\cdot f(-x)=g(x)\cdot f(x)$

因为 $f(x)$ 不恒等于零，可知在定义域内 $g(x)\ne 0$。两边同时除以 $g(x)$ 并消去负号得： $f(-x)=-f(x)$

根据奇函数的定义，函数 $f(x)$ 是奇函数。

故选 A

方法二（特殊值代入法）： 由于该选择题结果唯一且确定，可以构造一个符合题意的特殊偶函数。 令 $F(x)=1$（常数函数是偶函数）。 代入原方程： $1=\left(\frac{2^x+1}{2^x-1}\right)f(x)⟹f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$

容易验证 $f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{1-2^x}{1+2^x}=-f(x)$。 因此 $f(x)$ 必然是奇函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶函数乘积的性质公式（奇 $\times$ 奇 $=$ 偶，奇 $\times$ 偶 $=$ 奇，偶 $\times$ 偶 $=$ 偶），指数分式的恒等通分变形。
2. 核心方法：定义因式分解法、特殊函数构造法。
3. 避坑指南：
   • 极易在对 $g(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}$ 变形时出现符号混乱。分子分母同乘 $2^x$ 是处理负指数分式的标准化技巧。
   • 误认为 $\frac{2}{2^x-1}$ 含有指数项就一定是非奇非偶函数。必须经过整体通分后，才能看清其分子与分母间的互补对称本质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数板块非常经典的性质推导选择题。其结构取材于高中数学必修教材中关于“指数函数应用”与“函数奇偶性综合判断”的经典高频提高题。
2. 结论推广：在解析几何与函数中，形如 $y=\frac{a^x+1}{a^x-1}$ 或 $y=\frac{a^x-1}{a^x+1}$ ($a>0,a\ne 1$) 的双曲正切型函数结构，因具有高对称性，在线性自变量变号变换下均恒为奇函数。掌握这一不变量模型，在考场上即可免去复杂的通分过程，直接判定该类属性题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性