本题导读
本题考查对数函数的定义域、函数奇偶性的判定与证明。核心在于解不等式组法、定义证明法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1993年新高考(理)） 已知 ().
(1) 求 的定义域;
(2) 判断 的奇偶性并予以证明;
(3) 求使 的 取值范围.
🔍【思路分析】
破题导航
第一问（定义域）：根据对数函数的真数必须大于零，列出不等式 ，求解对应区间。 第二问（奇偶性）：先验证定义域是否关于原点对称。然后计算 ，通过对数运算性质 寻找其与 的关系，若 则为奇函数。 第三问（不等式）：由 。因为底数 的大小决定了对数函数的单调性，所以必须分 和 两种情况脱去对数符号，分别求解。
✅【答案】
Success
(1)
(2) 奇函数
(3) 时 ； 时
✍【详细解析】
Abstract
（1）解： 要使函数 有意义，对数式的真数必须大于零，即：
它等价于二次不等式：
解得：
所以，函数 的定义域为 。
（2）解： 为奇函数。证明如下： 由（1）可知，函数 的定义域为 ，该区间关于原点对称。 对于定义域内的任意 ，有：
利用对数的运算性质：
综上所述，函数 为奇函数。
（3）解： 不等式 即为：
由于底数 的取值范围会影响对数函数的单调性，需分以下两种情况讨论：
① 当 时，对数函数 在 上是增函数，则有：
移项化简得：
它等价于 ，解得 。 该区间完全在定义域 内。
② 当 时，对数函数 在 上是减函数，结合真数大于零，则有：
由（1）知 的解为 ； 由 移项化简得： 解得 或 。
取交集，在定义域 内的解为：
总结论：
- 当 时， 的取值范围是 ；
- 当 时， 的取值范围是 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：对数函数的图象与性质、分式不等式的解法、分类讨论思想。 核心方法：奇偶性证明四步法（求定义域 判对称 算 定结论）；解参数不等式时的“底数定单调”分类法。 避坑指南：
- 证明奇偶性时，千万不要漏掉“定义域关于原点对称”这一前提条件。
- 解第（3）问时，极易忽略底数 的范围而直接脱去对数号。牢记底数含参必讨论。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题是高中数学关于对数函数与复合函数性质的标准范式题，是后续学习双曲正切函数（等高等数学概念）在初等数学阶段的映射。 结论推广：函数 在高等数学中常写作 （反双曲正切函数），其本身具备奇函数性质，且在 上严格单调递增。
🔗【关联脉络】
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