2000-上海卷理-05 填-反函数的概念与性质

本题导读

本题考查互为反函数的两个函数图象之间的点坐标对应关系。解题核心在于利用反函数的性质，将“反函数图象过某点”转化为“原函数图象过其对称点”，从而避免直接求解复杂的反函数解析式。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 已知 $f(x)=2^x+b$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，若 $y=f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $Q(5,2)$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用反函数性质：若函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $(u,v)$，则根据反函数的定义，原函数 $y=f(x)$ 的图象必然经过点 $(v,u)$。
2. 点坐标转换：已知反函数图象过点 $Q(5,2)$，直接得出原函数过点 $P(2,5)$，即 $f(2)=5$。
3. 代入求解：将 $x=2,y=5$ 代入原函数解析式 $f(x)=2^x+b$，求出参数 $b$ 的值。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=f(x)$ 与其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称， 所以若反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $Q(5,2)$，即： $f^{-1}(5)=2$

根据反函数的互逆定义，这等价于原函数 $y=f(x)$ 满足： $f(2)=5$

将 $x=2$ 代入原函数解析式 $f(x)=2^x+b$ 中，得： $2^2+b=5$ $4+b=5$ $b=1$

答案： 1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数与原函数的坐标互换特性，即 $f^{-1}(A)=B⟺f(B)=A$。
2. 核心方法：逆向转化法。
3. 避坑指南：部分学生容易采用“先求反函数解析式”的方法：由 $y=2^x+b⟹2^x=y-b⟹x={\log }_2(y-b)$，得到 $f^{-1}(x)={\log }_2(x-b)$，再代入 $(5,2)$ 得到 $2={\log }_2(5-b)⟹5-b=4⟹b=1$。此方法虽然可行，但在大题或复杂函数中极易因代数化简出错而失分，效率较低。优先推荐利用互逆性质直接转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为考查反函数基本概念的经典高频基础题，旨在强化学生对映射与逆映射概念的理解。
2. 结论推广：对于任意含有未知参数的函数 $f(x)$，若已知其反函数 $f^{-1}(x)$ 满足多点对应关系 $f^{-1}(x_i)=y_i$，均可一律转换为原函数的点集方程组 $f(y_i)=x_i$ 进行参数的统一确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性