2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和

本题导读

本题考查数列的通项与裂项求和。核心在于裂项相消法求和。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，点 $\left(n,\frac{S_n}{n}\right)$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）均在函数 $y=3x-2$ 的图象上． （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{3}{a_n{a}_{n+1}}$，$T_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_n<\frac{m}{20}$ 对所有 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 都成立的最小正整数 $m$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 点 $\left(n,\frac{S_n}{n}\right)$ 在 $y=3x-2$ 上，故 $\frac{S_n}{n}=3n-2$，即 $S_n=3n^2-2n$。
2. $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1{)}^2-2(n-1)]=6n-5$；$n=1$ 时 $a_1=S_1=1$ 也符合。
3. $b_n=\frac{3}{(6n-5)(6n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)$。
4. $T_n=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{13}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{6n+1}\right)$。
5. $T_n<\frac{1}{2}$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=\frac{1}{2}$，故 $\frac{m}{20}⩾\frac{1}{2}$，$m⩾10$，最小正整数 $m=10$。

✅【答案】

Success

(1)$a_n=6n-5$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）

(2)最小正整数 $m=10$

✍【详细解析】

Abstract

（1）点 $\left(n,\frac{S_n}{n}\right)$ 在直线 $y=3x-2$ 上，故 $\frac{S_n}{n}=3n-2$，即 $S_n=3n^2-2n$． 当 $n⩾2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1{)}^2-2(n-1)]=6n-5;$ 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=3-2=1=6\times 1-5$，也满足上式． 所以 $a_n=6n-5$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）．

（2）$b_n=\frac{3}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{3}{(6n-5)(6n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)$， 故 $T_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{13}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{6n+1}\right).$ 于是 $T_n<\frac{1}{2}$ 对所有 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=\frac{1}{2}$． 要使 $T_n<\frac{m}{20}$ 对所有 $n$ 成立，须 $\frac{m}{20}⩾\frac{1}{2}$，即 $m⩾10$，故最小正整数 $m=10$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列通项与裂项求和

核心方法：由 $S_n=3n^2-2n$ 得 $a_n=6n-5$；$b_n=\frac{3}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)$

避坑指南：$T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{6n+1}\right)<\frac{1}{2}$，$\frac{m}{20}⩾\frac{1}{2}$ 得最小 $m=10$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 数列通项与裂项求和，数列综合

结论推广: $S_n/n$ 定 $S_n$ 再作差求 $a_n$，裂项求和求 $m$

方法推广: 裂项 $\frac{1}{(6n-5)(6n+1)}$ 配系数 $\frac{1}{2}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项
• 2009-湖南卷文-21 解-B数列新定义
• 2013-湖北卷文-19 解-等比数列奇偶和
• 2014-重庆卷文-02 单-等差数列