2001-大纲文-17 解-等差数列与裂项极限

本题导读

本题考查等差数列的通项与求和，以及数列极限。核心在于由前三项求 $a$、$k$，再用裂项求和的极限。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 已知等差数列前三项为 $a$，$4$，$3a$，前 $n$ 项的和为 $S_n$，$S_k=2550$.

(1) 求 $a$ 及 $k$ 的值；

(2) 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差中项 $a+3a=2\times 4$ 得 $a=2$。
2. $S_k=k(k+1)=2550$ 解 $k$。
3. $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+1)}$ 裂项求和。

✅【答案】

Success

$a=2$，$k=50$；极限为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 等差数列满足中间项是首、末两项的平均数，故 $a+3a=2\times 4$，解得 $a=2$．此时首项为 $2$、公差为 $2$，$S_k=2k+\frac{k(k-1)}{2}\times 2=k(k+1)$．由 $S_k=2550$ 得 $k^2+k-2550=0$，即 $(k-50)(k+51)=0$，因 $k$ 为正整数，故 $k=50$． (2) 对任意正整数 $n$，$S_n=2n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=n(n+1)$，故 $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．于是 $\frac{1}{S_1}+\cdots +\frac{1}{S_n}={\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$，所以极限为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与裂项极限

核心方法：$a+3a=2\times 4$ 得 $a=2$，$S_k=k(k+1)=2550$ 得 $k=50$；$\sum \frac{1}{S_n}=\sum \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}\to 1$

避坑指南：等差中项定 $a$，裂项求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列与数列极限

结论推广：一般地，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 裂项

方法推广：裂项求和取极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-17 解-等差数列与裂项极限
• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 2008-江西文-19 解-等差等比裂项求和