2001-新课标卷文-17 解-等差数列与裂项极限

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 $n$ 项和，以及裂项相消求数列极限。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 已知等差数列前三项为 $a$，$4$，$3a$，前 $n$ 项的和为 $S_n$，$S_k=2550$.

(1) 求 $a$ 及 $k$ 的值；

(2) 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由等差中项 $a+3a=2\times 4$ 求 $a$，再求公差。
2. 由 $S_k=2550$ 解 $k$；裂项求和后取极限。

✅【答案】

Success

(1) $a=2$，$k=50$

(2) $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由等差中项得 $a+3a=2\times 4$，解得 $a=2$，公差 $d=4-2=2$．于是 $S_k=2k+\frac{k(k-1)}{2}\times 2=k^2+k=2550$，即 $k^2+k-2550=0$，解得 $k=50$（$k=-51$ 舍去）． （2）$S_n=2n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=n(n+1)$，故 ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{S_i}={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}={\sum }_{i=1}^n\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$．所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与裂项极限

核心方法：$a+3a=2\times 4$ 得 $a=2$，$d=2$，$S_k=k(k+1)=2550$ 得 $k=50$；$\sum \frac{1}{S_i}=\sum \frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{n+1}\to 1$

避坑指南：等差中项定首项，裂项 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列求和与极限

结论推广：一般地，$\frac{1}{n(n+1)}$ 型裂项求和取极限

方法推广：裂项相消 + 取极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 2008-江西文-19 解-等差等比裂项求和
• 2010-山东卷文-18 解-等差数列通项与裂项