2003-北京卷理-09 单-数列的通项公式与变形

本题导读

本题考查非线性复杂通项数列的前 $n$ 项和以及极限计算。核心意图在于测试学生利用分治思想，针对通项中含有 $(-1{)}^n$ 振荡因子的代数式，按 $n$ 的奇偶性进行分类化简，从而将原数列拆分为两个独立的无穷等比级数，最终利用极限求和公式完成定量求解。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 9. 若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=\frac{3^{-n}+2^{-n}+(-1{)}^n(3^{-n}-2^{-n})}{2},n=1,2,\dots$ ，则 ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)$ 等于()

A. $\frac{11}{24}$　　　　　B. $\frac{17}{24}$　　　　　C. $\frac{19}{24}$　　　　　D. $\frac{25}{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇偶项分类化简：通项公式中含有因子 $(-1{)}^n$，其取值随 $n$ 的奇偶性交替在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡。

   • 当 $n$ 为奇数时， $(-1{)}^n=-1$，代入化简 $a_n$ 的表达式；
   • 当 $n$ 为偶数时， $(-1{)}^n=1$，代入化简 $a_n$ 的表达式。

2. 重组求和序列：将前 $n$ 项和 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 按照下标的奇偶性进行归类组合。

   • 奇数项级数构成一组等比数列；
   • 偶数项级数构成另一组等比数列。

3. 极限求和公式求解：当 $n\to \infty$ 时，原式转化为两个首项和公比均小于 1 的无穷等比级数的并项求和。直接套用无穷等比级数求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 分别计算并相加。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：按 $n$ 的奇偶性分类化简通项公式

• 当 $n$ 为奇数时， $(-1{)}^n=-1$。代入通式得： $a_n=\frac{3^{-n}+2^{-n}-(3^{-n}-2^{-n})}{2}=\frac{2\cdot 2^{-n}}{2}=2^{-n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$
• 当 $n$ 为偶数时， $(-1{)}^n=1$。代入通式得： $a_n=\frac{3^{-n}+2^{-n}+(3^{-n}-2^{-n})}{2}=\frac{2\cdot 3^{-n}}{2}=3^{-n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$

综上可知，数列 $\{a_n\}$ 的项交替呈如下规律分布： $a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{3},a_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3,a_4={\left(\frac{1}{3}\right)}^4,\dots$

第二步：将前 $n$ 项和进行奇偶项拆分重组 目标式为整个数列前 $n$ 项和在无穷远处的极限： ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)=(a_1+a_3+a_5+\dots )+(a_2+a_4+a_6+\dots )$

• 奇数项构成的无穷级数为： $S_{\text{奇}}=\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^5+\dots$ 该级数是以 $a_1=\frac{1}{2}$ 为首项，公比为 $q_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 的无穷等比级数。
• 偶数项构成的无穷级数为： $S_{\text{偶}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^4+{\left(\frac{1}{3}\right)}^6+\dots$ 该级数是以 $a_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ 为首项，公比为 $q_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ 的无穷等比级数。

第三步：套用无穷等比级数求和公式计算 根据公式 $S=\frac{a_1}{1-q}(|q|<1)$ 分别计算两部分和：

• $S_{\text{奇}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$
• $S_{\text{偶}}=\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}}=\frac{1}{9}\times \frac{9}{8}=\frac{1}{8}$

两部分加总，即得目标总极限值： ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)=S_{\text{奇}}+S_{\text{偶}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{16+3}{24}=\frac{19}{24}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $(-1{)}^n$ 驱动的交错特征项的奇偶并项分治；无穷等比级数收敛极限公式的准确运用。
2. 核心方法：奇偶项拆分并项法。
3. 避坑指南：

   • 偶数项首项与公比误判陷阱：在计算 $S_{\text{偶}}$ 时，部分学生极易粗心。由于偶数项序列为 $a_2,a_4,a_6\dots$，其首项是 $a_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$，而不是 $\frac{1}{3}$。提取非连续子数列进行级数求和时，务必将前两项写出，严密核对首项和公比，切忌思维惯性直接套用原底数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考试题中经典的交错等比级数求和问题。其高等数学背景直接来源于数学分析中的级数绝对收敛与重排定理（Absolute Convergence and Rearrangement of Series）。对于绝对收敛的级数 $\sum a_n$，将其子序列进行任意形式的重排或分块（如按奇偶项拆分），其最终收敛的极限值保持恒定不变。

2. 结论推广: 【振荡型双底等比级数极限定理】 对于任意形如通项为 $a_n=\frac{A^1\cdot u^{-n}+A^2\cdot {\nu }^{-n}+(-1{)}^n(A^3\cdot u^{-n}-A^4\cdot {\nu }^{-n})}{2}(u>1,\nu >1)$ 经奇偶退化后分别满足奇数项为 $u^{-n}$、偶数项为 ${\nu }^{-n}$ 的交错数列：

• 其无穷项总和的极限值恒满足如下解耦代数公式： ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=\frac{u}{u^2-1}+\frac{1}{{\nu }^2-1}$
• 本题切合点：本题中奇数项退化底数 $u=2$，偶数项退化底数 $\nu =3$。直接代入推广大招公式秒杀： ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=\frac{2}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{19}{24}$ 利用该推广定理，未来面对任何通过 $(-1{)}^n$ 包装的复合振荡双等比数列求极限问题，均可在 3 秒内直接口算输出标准答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 1958-湖北-01 解-系数递增数列的前n项和
• 1983-全国理-12 解-等比数列与数列极限