2003-辽宁卷-21 解-数列的递推关系与通项公式

本题导读

本题核心考查一阶非齐次线性递推数列通项公式的推导与证明，以及数列单调性约束下的参数范围求解。第一问要求证明给定的通项公式，可使用数学归纳法或构造法；第二问将单调递增条件转化为关于参数 $a_0$ 的恒成立不等式，通过分离参数与最值分析求解。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 设 $a_0$ 为常数，且 $a_n=3^{n-1}-2a_{n-1}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

(1) 证明对任意 $n\ge 1$, $a_n=\frac{1}{5}[3^n+(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n]+(-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0$；

(2) 假设对任意 $n\ge 1$ 有 $a_n>a_{n-1}$，求 $a_0$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问证明：
   • 方法一：数学归纳法。验证 $n=1$ 时公式成立；假设 $n=k$ 时公式成立，代入递推式 $a_{k+1}=3^k-2a_k$ 证明 $n=k+1$ 时公式同样成立。
   • 方法二：构造法。将递推式 $a_n+2a_{n-1}=3^{n-1}$ 两边同除以 $3^n$ 或 $2^n$ 进行构造，将其转化为等比数列求和。
2. 第二问单调性分析：

   • 将已知的递推关系式 $a_n=3^{n-1}-2a_{n-1}$ 代入目标不等式 $a_n>a_{n-1}$ 中，消去 $a_n$，得到 $3^{n-1}-2a_{n-1}>a_{n-1}⟹3^{n-1}>3a_{n-1}⟹a_{n-1}<3^{n-2}$ ($n\ge 1$)。

   • 调整下标，上述条件等价于对任意 $n\ge 0$，恒有 $a_n<3^{n-1}$。

   • 将第一问求出的 $a_n$ 通项公式代入不等式，利用分离参数法将含有 $a_0$ 的项单独移至一边，区分 $n$ 的奇偶性分析边界最值。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $a_0$ 的取值范围为 $0<a_0<\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明对任意 $n\ge 1$, $a_n=\frac{1}{5}[3^n+(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n]+(-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0$

• 方法一：使用数学归纳法证明

  ① 当 $n=1$ 时： 由已知递推式得 $a_1=3^0-2a_0=1-2a_0$。 代入待证公式右边得： $\frac{1}{5}[3^1+(-1{)}^0\cdot 2^1]+(-1{)}^1\cdot 2^1{a}_0=\frac{1}{5}(3+2)-2a_0=1-2a_0$ 左边等于右边，因此 $n=1$ 时公式成立。

  ② 假设当 $n=k$ ($k\ge 1,k\in \mathbf{Z}$) 时公式成立，即： $a_k=\frac{1}{5}[3^k+(-1{)}^{k-1}\cdot 2^k]+(-1{)}^k\cdot 2^k{a}_0$

  则当 $n=k+1$ 时，由递推关系式 $a_{k+1}=3^k-2a_k$ 代入假设： $a_{k+1}=3^k-2\cdot \left\{\frac{1}{5}[3^k+(-1{)}^{k-1}\cdot 2^k]+(-1{)}^k\cdot 2^k{a}_0\right\}$ $a_{k+1}=3^k-\frac{2}{5}\cdot 3^k-\frac{1}{5}\cdot (-1{)}^{k-1}\cdot 2^{k+1}-(-1{)}^k\cdot 2^{k+1}{a}_0$

  对各项进行同底数幂及符号合并：

  • 前两项： $3^k-\frac{2}{5}\cdot 3^k=\frac{3}{5}\cdot 3^k=\frac{1}{5}\cdot 3^{k+1}$
  • 第三项： $-\frac{1}{5}\cdot (-1{)}^{k-1}\cdot 2^{k+1}=\frac{1}{5}\cdot (-1)\cdot (-1{)}^{k-1}\cdot 2^{k+1}=\frac{1}{5}\cdot (-1{)}^k\cdot 2^{k+1}$
  • 第四项： $-(-1{)}^k\cdot 2^{k+1}{a}_0=(-1{)}^{k+1}\cdot 2^{k+1}{a}_0$

  组合整理得： $a_{k+1}=\frac{1}{5}\cdot 3^{k+1}+\frac{1}{5}\cdot (-1{)}^k\cdot 2^{k+1}+(-1{)}^{k+1}\cdot 2^{k+1}{a}_0$ $a_{k+1}=\frac{1}{5}[3^{k+1}+(-1{)}^{(k+1)-1}\cdot 2^{k+1}]+(-1{)}^{k+1}\cdot 2^{k+1}{a}_0$ 这表明当 $n=k+1$ 时，公式同样成立。

  根据 ①②，对任意 $n\ge 1$，原通项公式成立。

(2) 假设对任意 $n\ge 1$ 有 $a_n>a_{n-1}$，求 $a_0$ 的取值范围

将已知递推式 $a_n=3^{n-1}-2a_{n-1}$ 代入不等式 $a_n>a_{n-1}$ 中： $3^{n-1}-2a_{n-1}>a_{n-1}$ $3^{n-1}>3a_{n-1}⟹a_{n-1}<3^{n-2}(n\ge 1)$

调整计数下标，上式等价于：对任意 $n\ge 0$，恒满足： $a_n<3^{n-1}\text{(1)}$

• 当 $n=0$ 时，代入 ① 式得： $a_0<3^{-1}⟹a_0<\frac{1}{3}\text{(2)}$

• 当 $n\ge 1$ 时，将第 (1) 问已证的 $a_n$ 通项公式代入 ① 式： $\frac{1}{5}[3^n+(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n]+(-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0<3^{n-1}$

两边同乘以 5 以消去分母： $3^n+(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n+5\cdot (-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0<5\cdot 3^{n-1}$

移项，将含 $a_0$ 的项保留在左边，其余项移到右边： $5\cdot (-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0<5\cdot 3^{n-1}-3^n-(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n$

由于 $5\cdot 3^{n-1}-3^n=5\cdot 3^{n-1}-3\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^{n-1}$，且 $-(-1{)}^{n-1}=(-1{)}^n$，上式化简为： $5\cdot (-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0<2\cdot 3^{n-1}+(-1{)}^n\cdot 2^n\text{(3)}$

由于 $(-1{)}^n$ 的正负号随 $n$ 的奇偶性交替变化，需对 $n$ 的奇偶性进行分类讨论以分离参数 $a_0$：

情况 A：当 $n$ 为正奇数时 此时 $(-1{)}^n=-1$。代入 ③ 式得： $-5\cdot 2^n{a}_0<2\cdot 3^{n-1}-2^n$ 两边同除以负数 $-5\cdot 2^n$，切记改变不等号方向： $a_0>\frac{2\cdot 3^{n-1}-2^n}{-5\cdot 2^n}=\frac{2^n-2\cdot 3^{n-1}}{5\cdot 2^n}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$ 要使上式对所有正奇数 $n$ 恒成立， $a_0$ 必须大于右侧代数式的最大值。 设 $f(n)=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$。因为 $\frac{3}{2}>1$，随着奇数 $n$ 增大， ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$ 单调递增，故 $f(n)$ 单调递减。 因此， $f(n)$ 的最大值在最小的正奇数 $n=1$ 处取得： $f(1)=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^0=0$ 由此解得： $a_0>0\text{(4)}$

情况 B：当 $n$ 为正偶数时 此时 $(-1{)}^n=1$。代入 ③ 式得： $5\cdot 2^n{a}_0<2\cdot 3^{n-1}+2^n$ 两边同除以正数 $5\cdot 2^n$，不等号方向不变： $a_0<\frac{2\cdot 3^{n-1}+2^n}{5\cdot 2^n}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$ 要使上式对所有正偶数 $n$ 恒成立， $a_0$ 必须小于右侧代数式的最小值。 设 $g(n)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$。同理可知，由于 $\frac{3}{2}>1$， $g(n)$ 随偶数 $n$ 的增大而单调递增。 因此， $g(n)$ 的最小值在最小的正偶数 $n=2$ 处取得： $g(2)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$ 由此解得： $a_0<\frac{1}{2}\text{⑤}$

取交集汇总求终值： 联立所有约束条件（②、④、⑤）： $\{\begin{array}{l}{a}_0<\frac{1}{3}\\ a_0>0\\ a_0<\frac{1}{2}\end{array}⟹0<a_0<\frac{1}{3}$

答： $a_0$ 的取值范围是 $\left(0,\frac{1}{3}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数学归纳法的标准逻辑递推步（$n=k\to n=k+1$），数列下单调性代数变换，基于奇偶项分离的恒成立不等式最值锁定。
2. 核心方法：分离参数法。
3. 避坑指南：

   • 第二问极易漏掉 $n=0$ 对应的边界约束（即 $a_0<\frac{1}{3}$），如果漏掉此项，会导致最终错误作答为 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$。必须明确，单调性要求对任意 $n\ge 1$ 成立，当 $n=1$ 时 $a_1=1-2a_0>a_0$ 直接给出 $a_0>0$ —— 这条下限恰好是 $a_0=0$ 时 $a_1=a_2=1$ 的退化边界的镜像。

   • 分离参数时，面对 $(-1{)}^n$ 必须严格分奇偶讨论。在奇数段同除以负数时，切记要改变不等号的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于数列大板块中的高难度压轴解答题。侧重考查离散代数控制流，通过引入交替正负幂项，全面检验考生在多变量边界上的分类严谨度。
2. 结论推广: 第一问给出的非齐次线性递推方程 $a_n+A{a}_{n-1}=B^n$，其通项计算在高等数学中对应着一阶常系数线性差分方程（Difference Equation）。其通项由齐次通解 $C\cdot (-A{)}^n$ 与特解 $k\cdot B^n$ 叠加而成。本题的代数框架在信号系统理论中属于典型的无限冲激响应（IIR）数字滤波器时域离散响应求解模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 1987-全国文-12 填-数列的极限