1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用

本题导读

本题考查基本不等式在实际问题中的应用。核心在于材料约束下用均值不等式求 $ab$ 的最大值。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 $2$ 米的无盖长方体沉淀槽，污水从 $A$ 孔流入，经沉淀后从 $B$ 孔流出.设箱体的长度为 $a$ 米，高度为 $b$ 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 $a$，$b$ 的乘积 $ab$ 成反比.现有制箱材料 $60$ 平方米.问当 $a$，$b$ 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.（$A$，$B$ 孔的面积忽略不计）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设质量分数 $y=\frac{k}{ab}$，问题化为在材料约束下使 $ab$ 最大。
2. 列出材料面积方程，用均值不等式求 $ab$ 最大值及等号条件。

✅【答案】

Success

$a=6$ 米，$b=3$ 米

✍【详细解析】

Abstract

设流出水中杂质的质量分数为 $y$，由题意存在常数 $k>0$，使 $y=\frac{k}{ab}$。因而要使 $y$ 最小，只需在材料约束下使 $ab$ 最大。无盖箱体的材料面积为底面 $2a$、两个长侧面 $2ab$ 和两个端面 $4b$ 之和，所以 $2a+2ab+4b=60$，即 $a+ab+2b=30$。令 $x=ab>0$，由基本不等式得 $a+2b⩾2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2x}$，于是 $x+2\sqrt{2x}⩽30$。令 $u=\sqrt{2x}>0$，则 $\frac{u^2}{2}+2u⩽30$，即 $(u+2{)}^2⩽64$，所以 $u⩽6$，从而 $ab=x⩽18$。等号成立当且仅当 $a=2b$。由 $ab=18$ 得 $2b^2=18$，所以 $b=3$，$a=6$。因此当 $a=6$ 米、$b=3$ 米时，质量分数最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式的实际应用

核心方法：材料 $2a+2ab+4b=60$，即 $a+ab+2b=30$；令 $x=ab$，$a+2b\ge 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2x}$，得 $x+2\sqrt{2x}\le 30$，令 $u=\sqrt{2x}$ 得 $(u+2{)}^2\le 64$，$u\le 6$，$ab\le 18$，等号 $a=2b$，故 $a=6,b=3$

避坑指南：材料约束下均值最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材基本不等式的应用

结论推广：一般地，材料约束下用均值不等式求最值

方法推广：均值不等式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2000-新课标卷文-21 解-长方体容器的容积最值
• 2001-大纲文-21 解-基本不等式求面积最小
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值