1997-全国卷理-24 解-二次函数根的分布

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）。核心在于构造函数法、变量代换与不等式放缩的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 设二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a>0)$，方程 $f(x)-x=0$ 的两个根 $x_1,x_2$ 满足 $0<x_1<x_2<\frac{1}{a}$.

(1)当 $x\in (0,x_1)$ 时，证明 $x<f(x)<x_1$；

(2)设函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=x_0$ 对称，证明 $x_0<\frac{x_1}{2}$.

🔍【思路分析】

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第（1）问思路：

• 令 $g(x)=f(x)-x=a{x}^2+(b-1)x+c$。已知 $g(x)=0$ 的根为 $x_1,x_2$，且 $a>0$，因此当 $x\in (0,x_1)$ 时，二次函数图象在 $x$ 轴上方，即 $g(x)>0⟹f(x)>x$。
• 证明 $f(x)<x_1$，可转化为证明在 $(0,x_1)$ 上 $f(x)-x_1<0$。利用 $f(x_1)=x_1$ 结合图象的单调性或直接因式分解来判定符号。 第（2）问思路：
• 对称轴为 $x_0=-\frac{b}{2a}$。
• 由韦达定理知 $x_1+x_2=\frac{1-b}{a}⟹-b=a(x_1+x_2)-1$。
• 将 $-b$ 代入对称轴公式，将 $x_0$ 表示为包含 $x_1,x_2$ 的代数式，再利用已知条件 $x_2<\frac{1}{a}$ 进行放缩证明。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由题意， $x_1,x_2$ 是方程 $a{x}^2+(b-1)x+c=0$ 的两个根，可得： $f(x)-x=a(x-x_1)(x-x_2)$ $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+x$

（1）证明：当 $x\in (0,x_1)$ 时，$x<f(x)<x_1$

• 左半部分证明 ($x<f(x)$)： 当 $x\in (0,x_1)$ 时，有 $x-x_1<0$。 由于 $0<x_1<x_2$，则 $x<x_2⟹x-x_2<0$。 又因为 $a>0$，所以： $f(x)-x=a(x-x_1)(x-x_2)>0⟹f(x)>x$

• 右半部分证明 ($f(x)<x_1$)： $f(x)-x_1=a(x-x_1)(x-x_2)+x-x_1=(x-x_1)[a(x-x_2)+1]$ 因为 $x\in (0,x_1)$，所以 $x-x_1<0$。 因为 $x>0$ 且 $x_2<\frac{1}{a}⟹a{x}_2<1$，所以： $a(x-x_2)+1=ax-a{x}_2+1>0-1+1=0$ 因此，异号相乘得： $f(x)-x_1=(x-x_1)[a(x-x_2)+1]<0⟹f(x)<x_1$

综上所述，当 $x\in (0,x_1)$ 时，$x<f(x)<x_1$。

（2）证明：$x_0<\frac{x_1}{2}$

二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的图象关于直线 $x=x_0$ 对称，则其对称轴方程为： $x_0=-\frac{b}{2a}$

根据一元二次方程 $a{x}^2+(b-1)x+c=0$ 的韦达定理有： $x_1+x_2=-\frac{b-1}{a}=\frac{1-b}{a}⟹-b=a(x_1+x_2)-1$

将 $-b$ 代入 $x_0$ 的表达式中： $x_0=\frac{a(x_1+x_2)-1}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{1}{2a}$

由已知条件 $x_2<\frac{1}{a}$，将上式中的 $x_2$ 替换放缩： $x_0<\frac{x_1+\frac{1}{a}}{2}-\frac{1}{2a}=\frac{x_1}{2}+\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}=\frac{x_1}{2}$

所以，$x_0<\frac{x_1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用两根将二次多项式两点式化（$g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$）；韦达定理与对称轴基本量的互化。 核心方法：

• 在证明不等式时，利用“因式分解法”判断符号，比直接展开对比要高效且严谨。
• 复合因式放缩法：抓住核心限制条件 $x_2<\frac{1}{a}⟹a{x}_2<1$ 这一隐藏枢纽。 避坑指南：
• 第（1）问中证明 $f(x)<x_1$ 时，若直接去推导其顶点或利用求根公式，会导致结构异常复杂，从而无法在有限时间内作答。
• 第（2）问注意不要混淆 $f(x)=0$ 的根与 $f(x)-x=0$ 的根，后者的两根之和才是 $\frac{1-b}{a}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查二次函数的迭代与不动点（Fixed Point）的初等背景。方程 $f(x)-x=0$ 的根即为函数 $f(x)$ 的不动点。第一问实际上证明了在区间 $(0,x_1)$ 内，函数值被压缩在 $x$ 与不稳定不动点 $x_1$ 之间，属于动力系统稳定性讨论的经典初等化改写。 结论推广：若一元二次方程 $f(x)-x=0$ 在 $(0,M)$ 上有两个正实根 $x_1,x_2$，只要其最高次项系数满足 $a\cdot x_2<1$，则该二次函数的对称轴 $x_0$ 恒小于其较小不动点的一半，即 $x_0<\frac{x_1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.17 非对称韦达题型总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值
• 2000-新课标卷文-21 解-长方体容器的容积最值