2000-新课标卷文-21 解-长方体容器的容积最值

本题导读

本题考查实际问题中函数的最值。核心在于设元列出容积关于高的函数，再求导得最大值。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 用总长 $14.8\mathrm{m}$ 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 $0.5\mathrm{m}$，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底面两边为 $x$、$x+0.5$，高为 $h$。
2. 由总长 $14.8$ 得 $h$ 与 $x$ 的关系。
3. 列容积 $V=x(x+0.5)h$，求导求最值。

✅【答案】

Success

高为 $1.2\mathrm{m}$ 时容积最大，最大容积为 $1.8{\mathrm{m}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

设长方体容器底面的一边为 $x\mathrm{m}$，则另一边为 $(x+0.5)\mathrm{m}$，设高为 $h\mathrm{m}$．长方体共有 $12$ 条棱，其中长、宽、高各 $4$ 条，故总长为 $4[x+(x+0.5)+h]=4(2x+0.5+h)=14.8$，即 $2x+0.5+h=3.7$，$h=3.2-2x$（$0<x<1.6$）． 容器的容积 $V(x)=x(x+0.5)h=x(x+0.5)(3.2-2x)$．求导并整理得 $V^{\prime }(x)=(2x+0.5)(3.2-2x)-2x(x+0.5)$，令 $V^{\prime }(x)=0$，解得 $x=1$（另一根不在定义域内）．当 $0<x<1$ 时 $V^{\prime }>0$，$V$ 递增；当 $x>1$ 时 $V^{\prime }<0$，$V$ 递减．故 $x=1$ 时容积最大，此时高 $h=3.2-2=1.2\mathrm{m}$，最大容积 $V_{\max }=1\times 1.5\times 1.2=1.8{\mathrm{m}}^3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体容器的容积最值

核心方法：设底面两边 $x$、$x+0.5$，高 $h$，$4(2x+0.5+h)=14.8$ 得 $h=3.2-2x$，容积 $V=x(x+0.5)(3.2-2x)$，$V^{\prime }=0$ 得 $x=1$，$h=1.2$，$V_{\max }=1.8$

避坑指南：设元列容积函数求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的实际应用

结论推广：一般地，实际最值设元列函数求导

方法推广：设元列容积函数求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-18 解-框架用料最省
• 2007-重庆文-20 解-框架围长方体体积最值
• 2006-江苏卷-18 解-六棱柱六棱锥体积最值

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