1997-全国卷理-22 解-运输成本的最值

本题导读

本题考查函数解析式的构建、基本不等式（对勾函数性质）。核心在于建模法、均值不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 甲、乙两地相距 $S$ 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 $c$ 千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 $v$（千米/时）的平方成正比，比例系数为 $b$；固定部分为 $a$ 元.

(1)把全程运输成本 $y$（元）表示为速度 $v$（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

🔍【思路分析】

破题导航

构建函数解析式：先写出每小时的运输成本为 $b{v}^2+a$，再乘以全程所需时间 $t=\frac{S}{v}$，即可得到全程运输成本 $y$ 的表达式。定义域由实际速度的限制（大于0且不超过 $c$）决定。 寻找最值求法：解析式展开后呈现 $y=S\left(bv+\frac{a}{v}\right)$ 的形式，属于典型的对勾函数结构，可利用基本不等式探讨其理论最小值点。 分类讨论定义域边界：理论最值点为 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$。需将该点与定义域右上界 $c$ 进行大小比较：

• 若理论最值点在定义域内（$\sqrt{\frac{a}{b}}\le c$），则在该点取得最小值；
• 若理论最值点在定义域外（$\sqrt{\frac{a}{b}}>c$），则根据函数在定义域内的单调性，在边界点 $v=c$ 处取得最小值。

✅【答案】

Success

(1) $y=S\left(\frac{a}{v}+bv\right)$，$v\in (0,c]$

(2) 当 $\sqrt{\frac{a}{b}}\le c$ 时取 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$，否则取 $v=c$

✍【详细解析】

Abstract

（1）构建函数解析式及定义域

由题意，汽车每小时的运输成本为 $b{v}^2+a$ 元。 从甲地到乙地全程所需行驶时间为 $t=\frac{S}{v}$ 小时。 因此，全程运输成本 $y$ 为： $y=\left(b{v}^2+a\right)\cdot \frac{S}{v}=S\left(bv+\frac{a}{v}\right)$

根据实际情况，速度 $v>0$ 且速度不得超过 $c$， 所以该函数的定义域为 $(0,c]$。

（2）求解使全程运输成本最小的行驶速度

由于 $S,a,b,v$ 均为正数，由基本不等式得： $y=S\left(bv+\frac{a}{v}\right)\ge 2S\sqrt{bv\cdot \frac{a}{v}}=2S\sqrt{ab}$

当且仅当 $bv=\frac{a}{v}$，即 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 时，等号成立。 结合自变量的限制条件 $v\in (0,c]$，需对 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ 与 $c$ 的大小关系进行分类讨论：

1. 当 $\sqrt{\frac{a}{b}}\le c$ 时： 理论最值点在定义域内，汽车以 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 千米/时行驶时，全程运输成本最小。

2. 当 $\sqrt{\frac{a}{b}}>c$ 时： 当 $v\in (0,c]$ 时，$v<\sqrt{\frac{a}{b}}$。根据对勾函数 $f(v)=bv+\frac{a}{v}$ 在 $\left(0,\sqrt{\frac{a}{b}}\right)$ 上单调递减的性质，函数 $y$ 在 $(0,c]$ 上为减函数。 因此，当 $v=c$ 时，全程运输成本 $y$ 取得最小值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：应用题中的函数建模，以及形如 $f(x)=px+\frac{q}{x}(p,q>0)$ 的对勾函数性质与最值求解。 核心方法：均值不等式法与分段单调性讨论。 避坑指南：

• 极易忽视定义域的限制，直接利用基本不等式得出 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 的片面答案。
• 分类讨论时必须做到“不重不漏”，边界点 $\sqrt{\frac{a}{b}}=c$ 归入任意一方均可，但通常习惯与 $\le$ 放在一起。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题是经典的经济优化与运筹学模型在初等数学中的投射。在实际物流与运输管理中，速度越快，时间成本（固定支出）越低，但能源消耗（可变支出）呈非线性上升，本题精确捕捉到了这一对矛盾的平衡点。 结论推广：函数 $f(x)=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$ 在区间 $(0,x_0]$ 上的最值规律：若对勾函数的顶点 $x_k=\sqrt{\frac{b}{a}}\le x_0$，则最小值为 $2\sqrt{ab}$；若 $x_k>x_0$，则由于函数在区间内单调递减，最小值为 $a{x}_0+\frac{b}{x_0}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值
• 2000-新课标卷文-21 解-长方体容器的容积最值