本题导读
本题考查函数与方程的应用题、指数增长模型与不等式关系。核心在于构造不等式法、变量归一化代换法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高 10%.如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷）？ （粮食单产 = ，人均粮食占有量 = ）
🔍【思路分析】
破题导航
设立初始常数基准：设现在的粮食单产为 ，总人口数为 ，则现在的耕地面积 。 计算 10 年后的各控制分量：
- 10 年后的粮食单产：。
- 10 年后的总人口（按年增长率 1% 复利计算）：。
- 10 年后的人均粮食占有量目标：由现有值 提高 10%，即 。 构建平衡不等式：
- 设 10 年后实际耕地面积为 。根据公式可得 10 年后的实际人均粮食占有量为 。
- 要达到或超过规划目标，必须满足：实际人均粮食占有量 规划人均粮食占有量目标。 求解并转化为年均减少量：解出 的有界范围，设平均每年至多减少 公顷，则 ，代入求解并精确到个位数。
✅【答案】
Success
公顷
✍【详细解析】
Abstract
设该地现有的粮食单产为 ，现有的总人口数为 。 已知现有耕地面积 公顷。
写出现在与 10 年后的各量代数式
- 现在的总产量与人均占有量：
- 现在的粮食总产量为：
- 现在的人均粮食占有量为：
- 10 年后的规划与实际指标：
- 10 年后的粮食单产为：
- 10 年后的总人口数为：
- 10 年后的规划人均粮食占有量目标为：
建立关于 10 年后耕地面积 的不等式 设 10 年后的耕地面积为 公顷。10 年后的实际总产量为 。 根据题意，10 年后的实际人均粮食占有量不能低于规划目标：
方程两边同时约去非零公共常数 ： 解得 的有界临界范围：
精确数值估算与离散化计算 利用二项式定理展开或常规对数估算求 的近似值： 代入分式中进行定量计算：
求平均每年至多减少的耕地面积 设耕地平均每年至多减少 公顷，则 10 年后的耕地面积可表示为： 代入上述不等式限界：
由于题目要求精确到 1 公顷，取其满足不等式的最大整数：
答：该地耕地平均每年至多只能减少 4 公顷。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：复合多量变量增长模型的代数构建；分式实际问题向一元一次不等式的转化。 核心方法：“基准消元法”。通过合理引入未知基准量 ，并在最终不等式两侧实现对齐约分消去，是解决复合比例应用题的高效手段。 避坑指南：
- 底数近似计算误差陷阱：在没有计算器的高考考场上，极易粗糙地将 直接估算为 。如果代入 ，算出来的结果为 ，从而解出 。这属于精度穿透失误。必须使用二项式定理前三项展开精确到万分位：，才能保证个位数的准确性。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于典型的函数与不等式跨学科建模大题。取材于上世纪九十年代国家关于中国粮食红线与人口膨胀控制政策的宏观背景，是用数学工具解决实际国策规划问题的行业标准范例。 结论推广： 本题可抽象为标准的资源-人口复合指数规划约束模型： 已知初始资源 ，资源单产年增长率 ，人口年增长率 ，目标人均资源提升率 ，在经过 年后的资源留存量 恒满足： 这一宏观动力学不等式模型广泛应用于生态学承载力评估、城市水资源供给线规划以及国家战略物资储备的长周期定量测算。
🔗【关联脉络】
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