1993-旧高考理-22 填-均值不等式与造价最值

本题导读

本题考查长方体的体积与表面积公式，以及函数模型构建（实际应用题）。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 建造一个容积为 $8{\text{ m}}^3$，深为 $2\text{ m}$ 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为$\underline{}$元.

🔍【思路分析】

破题导航

分析已知不变量：由容积 $V=8$ 和深度 $h=2$，可求得池底的面积 $S_{\text{底}}=\frac{V}{h}=4{\text{ m}}^2$。因此，池底的造价是一个固定常数。 构建函数模型：设池底的长为 $x\text{ m}$，宽为 $y\text{ m}$。则满足 $xy=4$。

• 池壁由 4 个侧面组成，总面积为 $S_{\text{壁}}=2(x+y)\cdot h=4(x+y)$；
• 总造价 $y_{\text{总}}=120\cdot S_{\text{底}}+80\cdot S_{\text{壁}}$。 利用基本不等式求最值：将变量代入总造价公式中，出现形如 $x+y$ 的结构。利用 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 转化为常数，求得最低造价。

✅【答案】

Success

$1760$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设长方体无盖水池底面的长为 $x\text{ m}$，宽为 $y\text{ m}$ ($x>0,y>0$)。 已知水池的深为 $h=2\text{ m}$，容积 $V=8{\text{ m}}^3$。

根据长方体的体积公式，有： V = x \cdot y \cdot h \implies 8 = 2xy \implies xy = 4 \tag{1}

水池各部分的面积分布如下：

1. 池底面积： $S_{\text{底}}=xy=4{\text{ m}}^2$
2. 池壁（4个侧面）总面积： $S_{\text{壁}}=2xh+2yh=2\cdot 2x+2\cdot 2y=4(x+y){\text{ m}}^2$

根据题目给出的单位面积造价（池底 120 元/${\text{m}}^2$，池壁 80 元/${\text{m}}^2$），建立总造价 $y_{\text{总}}$ 的函数模型： $y_{\text{总}}=120\cdot S_{\text{底}}+80\cdot S_{\text{壁}}$ y_{\text{总}} = 120 \times 4 + 80 \times 4(x + y) = 480 + 320(x + y) \tag{2}

因为 $x>0,y>0$，利用基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 可得： x + y \ge 2\sqrt{4} = 4 \tag{3}

将 (3) 式的不等关系代入总造价公式 (2) 中： $y_{\text{总}}\ge 480+320\times 4=480+1280=1760$

当且仅当 $x=y$ 且 $xy=4$，即 $x=y=2\text{ m}$ 时（底面为正方形），等号成立。此时水池的总造价最低。

因此，水池的最低总造价为 1760 元。

后答：1760

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体体积与侧面积公式，基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的几何实际应用。
2. 核心方法：函数建模法、基本不等式法。
3. 避坑指南：
   • 注意“无盖”这一限定词。在构建表面积和造价模型时，不能算入顶盖的面积，否则会导致池底或池顶的造价项多算一倍。
   • 确保取等号的条件可以达到。本题中等号成立要求 $x=y=2$，完全符合长和宽均为正实数的几何实际，最值有效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的代数不等式应用题，属于高考填空题中的必考常青树模型。取材于高中代数教材中“基本不等式的应用”一节的课后经典最值优化练习题。
2. 结论推广：对于建造一个容积为 $V$、深为 $h$ 的无盖长方体水池，若底面造价为 $P_1$/${\text{m}}^2$，侧壁造价为 $P_2$/${\text{m}}^2$，则水池的最低总造价推广公式为： $y_{\text{最低}}=P_1\cdot \frac{V}{h}+4P_2\cdot \sqrt{\frac{V}{h}}\cdot h=\frac{P_{1}V}{h}+4P_2\sqrt{Vh}$ 本题中 $V=8,h=2,P_1=120,P_2=80$，直接代入推广公式速算： $y_{\text{最低}}=\frac{120\times 8}{2}+4\times 80\times \sqrt{8\times 2}=480+320\times 4=1760\text{ 元}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积