1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与方程。核心在于由到定直线与定点的距离相等建系求曲线段方程。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 如图，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 相交于点 $M$，$l_1\perp l_2$，点 $N\in l_1$.以 $A$，$B$ 为端点的曲线段 $C$ 上的任一点到 $l_2$ 的距离与到点 $N$ 的距离相等.若 $△AMN$ 为锐角三角形，$|AM|=\sqrt{17}$，$|AN|=3$，且 $|BN|=6$.建立适当的坐标系，求曲线段 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $MN$ 中点为原点、$l_1$ 为 $x$ 轴建系。
2. 由到 $l_2$ 与到 $N$ 距离相等得抛物线方程。
3. 由 $|AM|$、$|AN|$、$|BN|$ 及锐角条件定参数与端点。

✅【答案】

Success

$y^2=8x$（$1⩽x⩽4$，$y⩾0$）

✍【详细解析】

Abstract

取 $MN$ 的中点为原点，以 $l_1$ 为 $x$ 轴、$MN$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，设 $MN=2d$。则 $M=(-d,0)$，$N=(d,0)$，而 $l_2$ 的方程为 $x=-d$。由题意，曲线 $C$ 上任一点 $(x,y)$ 到 $l_2$ 的距离等于到 $N$ 的距离，所以 $(x+d{)}^2=(x-d{)}^2+y^2$，即曲线所在抛物线的方程为 $y^2=4dx$。设 $A=(x_A,y_A)$，由 $|AM|=\sqrt{17}$、$|AN|=3$ 及上式得 $4d{x}_A=17-9=8$，并且 $(x_A+d{)}^2+y_A^2=17$ 给出 $(x_A+d{)}^2=9$。因为 $x_A+d>0$，故 $x_A+d=3$，再结合 $d{x}_A=2$，得到 $(d,x_A)=(2,1)$ 或 $(1,2)$。三角形 $AMN$ 为锐角三角形时，顶点 $N$ 处的内积为 $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NA}=2d(d-x_A)>0$，所以必须有 $d>x_A$，从而 $d=2$，$x_A=1$。因此抛物线为 $y^2=8x$，且 $M=(-2,0)$，$N=(2,0)$。设 $B=(x_B,y_B)$，由 $|BN|=6$ 得 $(x_B-2{)}^2+y_B^2=36$。代入 $y_B^2=8x_B$，得 $x_B^2+4x_B-32=0$，所以 $x_B=4$ 或 $-8$。抛物线上 $x_B⩾0$，故 $x_B=4$，且由原图取上支 $y⩾0$。所以曲线段 $C$ 的方程为 $y^2=8x$，其中 $1⩽x⩽4$，$y⩾0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与方程

核心方法：取 $MN$ 中点为原点、$l_1$ 为 $x$ 轴建系，由到 $l_2$ 与到 $N$ 距离相等得 $y^2=4dx$；再由 $|AM|=\sqrt{17}$、$|AN|=3$ 及锐角条件定 $d=2$，得 $y^2=8x$；由 $|BN|=6$ 得 $x_B=4$，故曲线段 $y^2=8x(1\le x\le 4,y\ge 0)$

避坑指南：抛物线定义建系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的定义

结论推广：一般地，到定点与定直线距离相等的轨迹是抛物线

方法推广：抛物线定义建系

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-21 解-抛物线截面的水沟应用
• 2000-大纲文-11 单-抛物线焦点弦的倒数和
• 2001-上海文-05 填-抛物线焦点坐标