1996-全国卷理-16 填-圆与抛物线的位置关系

本题导读

本题考查圆的一般方程与标准方程，以及抛物线的标准方程与准线方程。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 已知圆 $x^2+y^2-6x-7=0$ 与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线相切，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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提取圆的几何要素：将已知圆的一般方程进行配方，化为标准方程，从而提取出该圆的圆心坐标 $(h,k)$ 与半径 $R$。 写出抛物线的准线方程：根据标准抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的定义，直接写出其开口向右时的垂直准线方程。 利用相切建立代数方程：由于垂直直线与圆相切，圆心到准线的距离必须严格等于圆的半径 $R$。由此建立关于参数 $p$ 的绝对值方程。 解方程并检验：结合已知条件 $p>0$ 对解进行筛选，确定最终填空结果。

✅【答案】

Success

2

✍【详细解析】

Abstract

化简圆的方程并求圆心与半径 已知圆的一般方程为： $x^2+y^2-6x-7=0$ 对 $x$ 项进行配方： $(x^2-6x+9)+y^2=7+9$ $(x-3{)}^2+y^2=16$ 由此标准方程可直接提取圆的几何特征：

• 圆心坐标为 $A(3,0)$；
• 半径为 $R=\sqrt{16}=4$。

求抛物线的准线方程 已知抛物线方程为 $y^2=2px(p>0)$，其焦点在 $x$ 轴正半轴上，开口向右。 根据抛物线的几何定义，其准线是一条垂直于 $x$ 轴的直线，方程为： $x=-\frac{p}{2}⟹x+\frac{p}{2}=0$

利用相切条件列式求解 $p$ 因为圆与抛物线的准线相切，所以圆心 $A(3,0)$ 到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离 $d$ 必须等于圆的半径 $R$。 由于准线为垂直直线，距离即为横坐标之差的绝对值： $d=\left|3-\left(-\frac{p}{2}\right)\right|=\left|3+\frac{p}{2}\right|$ 令 $d=R=4$： $\left|3+\frac{p}{2}\right|=4$

脱去绝对值符号分两种情况讨论：

1. $3+\frac{p}{2}=4⟹\frac{p}{2}=1⟹p=2$
2. $3+\frac{p}{2}=-4⟹\frac{p}{2}=-7⟹p=-14$

因为题干明确限定参数 $p>0$，所以 $p=-14$ 不符合题意，舍去。 综上所述，满足条件的参数值为 $p=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程配方；抛物线准线方程 $x=-\frac{p}{2}$；线圆相切的几何条件 $d=R$。 核心方法：“几何距离法”。处理直线与圆的位置关系时，利用圆心到直线的距离公式（几何法）通常比将直线方程代入圆方程求判别式（代数 $\Delta =0$ 法）的运算量小得多，是解析几何中首选的常规通法。 避坑指南：

• 抛物线公式混淆陷阱：极易将准线方程记错为 $x=-p$ 或 $y=-\frac{p}{2}$，导致后续步骤满盘皆输。务必牢记：一次项变量决定主轴方向，系数的四分之一（即 $\frac{p}{2}$）决定焦点与准线位置。
• 绝对值单侧遗漏：虽然本题由于 $p>0$ 的有界限制使得负根被舍弃，但在解答题中如果不写绝对值直接写成 $3+\frac{p}{2}=4$，属于逻辑不严密，在其他变式题中极易漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于圆锥曲线与经典解析几何交汇的传统填空压轴题。直接源自教材中“直线与圆的位置关系”以及“抛物线的简单几何性质”两个核心章节基础知识点的无缝拼接触发。 结论推广： 对于任意已知圆 $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=R^2$ 与标准抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 发生相切的位置关系模型：

• 其对应的准线通用方程为 $x=-\frac{p}{2}$；
• 只要圆心横坐标满足 $h>-R$，其相切时的正参数 $p$ 满足唯一的空间代数映射通式： $p=2(R-h)$ 本题验证：直接将本题配方后的圆心横坐标 $h=3$、半径 $R=4$ 代入此推广公式中：$p=2\times (4-3)=2\times 1=2$。该统一模型在解析几何大题中作为第一问的快速结论验证具有极高的实用提速价值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程
• 1998-上海文-20 解-抛物线的定义与方程
• 1997-全国卷文-17 填-直线与抛物线交点的中点