1998-上海文-20 解-抛物线的定义与方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与弦长面积。核心在于由到定点与到定直线距离相等求轨迹，再由弦长与点到直线距离求面积。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(文)） (1) 设动点 $M$ 到定点 $D(2,0)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离相等，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程.

(2) 过点 $D(2,0)$ 的直线 $l$ 交上述轨迹 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，$E$ 点坐标是 $(1,0)$，若 $△EPQ$ 的面积为 $4$，求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线定义求轨迹方程。
2. 设直线 $y=k(x-2)$，用弦长与点到直线距离表示面积，解出 $k$。

✅【答案】

Success

(1) $y^2=4(x-1)$；(2) $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 根据抛物线的定义，轨迹 $C$ 是以 $D$ 为焦点、$y$ 轴为准线的抛物线，其顶点坐标是 $(1,0)$，$p=2$，开口向右。设动点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=|x|$。两边平方得 $x^2-4x+4+y^2=x^2$，所以轨迹 $C$ 的方程为 $y^2=4(x-1)$。 (2) 解法一：设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$，因 $l$ 与抛物线有两个交点，故 $k\ne 0$。得 $x=\frac{y}{k}+2$，代入 $y^2=4(x-1)$ 得 $y^2-\frac{4}{k}y-4=0$。$\Delta =\frac{16}{k^2}+16>0$ 恒成立，记这个方程的两实根为 $y_1,y_2$，则 $|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\frac{4(k^2+1)}{k^2}$。又点 $E$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|k\cdot 1-0-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$。所以 $△EPQ$ 的面积为 $S_{△EPQ}=\frac{1}{2}|PQ|\cdot d=\frac{2\sqrt{k^2+1}}{|k|}$。由 $\frac{2\sqrt{k^2+1}}{|k|}=4$ 解得 $k^2=\frac{1}{3}$，所以 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。因此 $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$。 解法二：设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$，代入 $y^2=4(x-1)$，得 $k^2{x}^2-(4k^2+4)x+4k^2+4=0$。因 $l$ 与抛物线有两个交点，故 $k\ne 0$，而 $\Delta =16(k^2+1)>0$ 恒成立，记这个方程的两个实根为 $x_1,x_2$。因抛物线 $y^2=4(x-1)$ 的焦点为 $D(2,0)$，准线为 $x=0$，所以 $|PQ|=x_1+x_2=\frac{4(k^2+1)}{k^2}$。其余同解法一。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与方程

核心方法：(1) 到定点 $D(2,0)$ 与到 $y$ 轴距离相等，由抛物线定义 $y^2=4(x-1)$；；(2) 直线 $y=k(x-2)$ 代入，$|PQ|=\frac{4(k^2+1)}{k^2}$，$S=\frac{2\sqrt{k^2+1}}{|k|}=4$ 得 $k^2=\frac{1}{3}$，$\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$

避坑指南：抛物线定义 + 弦长面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的定义

结论推广：一般地，到定点与到定直线距离相等的轨迹是抛物线

方法推广：抛物线定义 + 弦长面积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程
• 1999-上海文-21 解-抛物线截面的水沟应用
• 2001-上海文-05 填-抛物线焦点坐标