1996-全国卷文-16 填-抛物线焦点与点的距离

本题导读

本题考查抛物线的焦点坐标，以及由点到焦点的距离确定参数。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 已知点 $(-2,3)$ 与抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点的距离是 $5$，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出抛物线的焦点坐标 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。
2. 用两点距离公式列方程求 $p$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。由距离条件，$\sqrt{{\left(\frac{p}{2}+2\right)}^2+(0-3{)}^2}=5$，平方得 ${\left(\frac{p}{2}+2\right)}^2+9=25$，即 ${\left(\frac{p}{2}+2\right)}^2=16$。因 $p>0$，故 $\frac{p}{2}+2=4$，得 $p=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点与点的距离

核心方法：焦点 $(\frac{p}{2},0)$，距离 $\sqrt{(\frac{p}{2}+2{)}^2+3^2}=5$，得 $(\frac{p}{2}+2{)}^2=16$，$\frac{p}{2}+2=4$，故 $p=4$

避坑指南：两点距离定参数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的焦点

结论推广：一般地，焦点 $(\frac{p}{2},0)$ 用距离公式定 $p$

方法推广：距离定参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程
• 1998-上海文-20 解-抛物线的定义与方程
• 1997-全国卷文-17 填-直线与抛物线交点的中点