1995-全国卷理-19 填-抛物线的通径长

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与平移变换，以及抛物线的几何性质（通径）。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 直线 $l$ 过抛物线 $y^2=a(x+1)(a>0)$ 的焦点，并且与 $x$ 轴垂直，若 $l$ 被抛物线截得的线段长为 4，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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识别几何特征：直线 $l$ 过抛物线的焦点且垂直于对称轴（$x$ 轴），这意味着 $l$ 被抛物线截得的线段正是该抛物线的通径。 利用平移不变性：抛物线 $y^2=a(x+1)$ 是由标准抛物线 $y^2=ax$ 沿 $x$ 轴向左平移 1 个单位得到了。平移变换不改变抛物线的形状和大小，因此它们的通径长完全相等。 应用通径公式：标准抛物线 $y^2=2px$ 的通径长为 $2p$。通过比对系数，直接建立关于 $a$ 的方程求解。

✅【答案】

Success

4

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通径公式法（最简捷）

根据抛物线的几何性质，过焦点且垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径。

抛物线 $y^2=a(x+1)$ 可以看作是由标准方程 $y^2=ax$ 向左平移 1 个单位得到的。因为平移不改变曲线的形状与大小，所以两者的通径长度相同。

对于标准抛物线 $y^2=ax(a>0)$，将其与标准形式 $y^2=2px$ 进行对应： $2p=a$ 而标准抛物线 $y^2=2px$ 的通径长度公式即为 $2p$。

因此，该抛物线的通径长就等于系数 $a$。 已知直线 $l$ 被抛物线截得的线段长（通径长）为 4，所以： $a=4$

方法二：代数求交点法

1. 求焦点坐标： 对于标准抛物线 $y^2=ax$，其焦点为 $\left(\frac{a}{4},0\right)$。 将曲线向左平移 1 个单位得到 $y^2=a(x+1)$，故其焦点 $F$ 的横坐标为： $x_F=\frac{a}{4}-1$

2. 写出直线方程： 因为直线 $l\perp x$ 轴且过焦点 $F$，所以直线 $l$ 的方程为： $x=\frac{a}{4}-1$

3. 求交点纵坐标： 将直线 $x=\frac{a}{4}-1$ 代入抛物线方程 $y^2=a(x+1)$ 中： $y^2=a\left[\left(\frac{a}{4}-1\right)+1\right]=a\cdot \frac{a}{4}=\frac{a^2}{4}$ 解得交点的纵坐标为： $y=\pm \frac{a}{2}$

4. 计算弦长： 截得的线段长为两交点纵坐标之差的绝对值： $L=\left|\frac{a}{2}-\left(-\frac{a}{2}\right)\right|=a$ 已知线段长为 4，故 $a=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线通径的定义与其长度等于 $2p$（即 $x$ 一次项系数的绝对值）这一核心性质。 核心方法：整体结构法。在解析几何中，凡是看到“过焦点且垂直于对称轴的弦”，应条件反射式地联想到“通径”，直接利用通径公式求解，避免繁琐的求焦点和代入联立过程。 避坑指南：有些学生习惯将抛物线写成 $y^2=2px$ 的标准形式，盲目认为通径是 $2p$，而在面对 $y^2=ax$ 时，容易把 $a$ 误当作 $p$ 从而得出通径为 $2a$ 的错误结论。必须明确：通径长始终等于 $x$ 前面的整体系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于圆锥曲线几何性质的常规考查，源自课本中关于抛物线焦点、准线及特殊弦长（通径）定义的推导习题。 结论推广： 对于任意型如 $(y-k{)}^2=\pm 2p(x-h)$ 或 $(x-h{)}^2=\pm 2p(y-k)$ 的平移型抛物线，其过焦点且垂直于对称轴的通径弦长均具有平移不变性，其长度恒等于一次项系数的绝对值，即： $L_{\text{通径}}=2p$ 在解决客观题时，无需关注平移量 $h$ 和 $k$ 的数值，直接提取一次项前方的系数即可瞬间秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-16 填-抛物线焦点与点的距离
• 1997-全国卷文-17 填-直线与抛物线交点的中点
• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程