1998-全国卷文-15 单-等比数列公比与极限

本题导读

本题考查等比数列公比与极限，以及无穷递缩等比数列的求和公式。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $-\frac{1}{2}$，前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{a_1}$，那么 $a_1$ 的值为()

A. $\pm \sqrt{3}$　　　　　　　B. $\pm \frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\pm \sqrt{2}$　　　　　　　D. $\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公比 $|q|=\frac{1}{2}<1$，用无穷递缩等比求和公式。
2. 由 $\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{a_1}$ 解 $a_1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

等比数列的公比为 $q=-\frac{1}{2}$，且 $|q|<1$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2a_1}{3}$。由题设 $\frac{2a_1}{3}=\frac{1}{a_1}$，得 $2a_1^2=3$。因而 $a_1=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列公比与极限

核心方法：$|q|=\frac{1}{2}<1$，$\lim S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2a_1}{3}=\frac{1}{a_1}$，得 $2a_1^2=3$，$a_1=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$，选 D

避坑指南：无穷递缩等比求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列的极限

结论推广：一般地，$|q|<1$ 时 $\lim S_n=\frac{a_1}{1-q}$

方法推广：无穷递缩等比求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-20 解-递推数列与极限
• 2001-上海文-06 填-等比数列极限与首项范围
• 2003-上海文-11 填-外接圆面积极限