1997-全国卷文-22 解-运输成本的最值

本题导读

本题考查实际问题中的函数最值。核心在于用均值不等式求最小成本并分类讨论。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 甲、乙两地相距 $S$ 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 $c$ 千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 $v$（千米/时）的平方成正比，比例系数为 $b$；固定部分为 $a$ 元.

(1)把全程运输成本 $y$（元）表示为速度 $v$（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

🔍【思路分析】

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1. 由时间 $\frac{S}{v}$ 写出总成本函数。
2. 用均值不等式求最小值，并讨论最优速度是否在允许范围内。

✅【答案】

Success

(1) $y=S\left(\frac{a}{v}+bv\right)$，$v\in (0,c]$

(2) 当 $\sqrt{\frac{a}{b}}\le c$ 时取 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$，否则取 $v=c$

✍【详细解析】

Abstract

（1）汽车全程行驶时间为 $\frac{S}{v}$ 小时，每小时成本为 $a+b{v}^2$，故全程运输成本为 $y=(a+b{v}^2)\cdot \frac{S}{v}=S\left(\frac{a}{v}+bv\right)$，定义域为 $v\in (0,c]$。 （2）由均值不等式 $y=S\left(\frac{a}{v}+bv\right)\ge S\cdot 2\sqrt{\frac{a}{v}\cdot bv}=2S\sqrt{ab}$，等号当且仅当 $\frac{a}{v}=bv$，即 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 时成立。因此当 $\sqrt{\frac{a}{b}}\le c$ 时，取 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 使成本最小；当 $\sqrt{\frac{a}{b}}>c$ 时，$y=S\left(\frac{a}{v}+bv\right)$ 在 $(0,c]$ 上单调递减，故取 $v=c$ 时成本最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：运输成本的最值

核心方法：(1) 时间 $\frac{S}{v}$，成本 $y=(a+b{v}^2)\frac{S}{v}=S(\frac{a}{v}+bv)$，$v\in (0,c]$；；(2) $y=S(\frac{a}{v}+bv)\ge 2S\sqrt{ab}$，等号 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$；当 $\sqrt{\frac{a}{b}}\le c$ 取 $v=\sqrt{\frac{a}{b}}$，否则取 $v=c$

避坑指南：均值不等式分类讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材基本不等式的应用

结论推广：一般地，均值不等式求最值并分类讨论

方法推广：均值不等式分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值
• 2000-新课标卷文-21 解-长方体容器的容积最值