1993-新高考文-22 填-均值不等式与造价最值

本题导读

本题考查均值不等式在实际造价问题中的应用，以及定容积的转化。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 建造一个容积为 $8{\mathrm{m}}^3$，深为 $2\mathrm{m}$ 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为 $120$ 元和 $80$ 元，那么水池的最低总造价为 $\underline{}$元.

🔍【思路分析】

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底面积 $\frac{8}{2}=4$，设底面长 $x$、宽 $y$，$xy=4$；总造价 $=480+320(x+y)\ge 480+320\cdot 4=1760$。

✅【答案】

Success

$1760$

✍【详细解析】

Abstract

池深 $2$ m，容积 $8$ m³，故底面积 $xy=4$ m²（设底面长 $x$、宽 $y$）。池底造价 $120xy=480$ 元（定值）。池壁面积 $2(x+y)\cdot 2=4(x+y)$，造价 $80\cdot 4(x+y)=320(x+y)$。总造价 $480+320(x+y)\ge 480+320\cdot 2\sqrt{xy}=480+320\cdot 4=1760$ 元，当 $x=y=2$ 时取到，故最低 $1760$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式与造价最值

核心方法：$xy=4$，总造价 $480+320(x+y)\ge 1760$ 元

避坑指南：容积转底面积定值，池壁用均值不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于均值不等式应用

结论推广：定容积无盖水池造价下界 $480+320\cdot 2\sqrt{xy}$

方法推广：造价=底定值+侧均值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-22 填-均值不等式与造价最值
• 1997-全国卷文-22 解-运输成本的最值
• 1999-全国卷文-17 填-基本不等式求 ab 范围