1996-全国卷文-15 单-奇函数的周期求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性，以及由递推关系确定函数值。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 设 $f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的奇函数，$f(x+2)=-f(x)$，当 $0\le x\le 1$ 时，$f(x)=x$，则 $f(7.5)$ 等于 ()

A.$0.5$　　B.$-0.5$　　C.$1.5$　　D.$-1.5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(x+2)=-f(x)$ 推周期。
2. 用奇偶性、周期性把 $7.5$ 化到 $[0,1]$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x+2)=-f(x)$，得 $f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，故 $f(x)$ 的周期为 $4$。$f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)$。又 $f$ 是奇函数，$f(-0.5)=-f(0.5)$。当 $0\le x\le 1$ 时 $f(x)=x$，故 $f(0.5)=0.5$，于是 $f(7.5)=-0.5$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的周期求值

核心方法：$f(x+2)=-f(x)$ 得周期 $4$，$f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5$，选 B

避坑指南：奇函数与周期性联合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数周期性与奇偶性

结论推广：一般地，$f(x+a)=-f(x)$ 得周期 $2a$

方法推广：奇偶周期联合

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定
• 1997-全国卷文-13 单-奇偶函数与单调性的不等式