1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定

本题导读

本题考查三角函数的周期与奇偶性，以及由解析式判定。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 下列函数中，周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数是()

A. $y=\sin 4x$　　　　B. $y={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x$　　　　C. $y=\tan 2x$　　　　D. $y=\cos 2x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别化简各函数。
2. 判断周期是否为 $\frac{\pi }{2}$ 且为偶函数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

逐项判断：$y=\sin 4x$ 是奇函数；$y={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$，是偶函数，周期为 $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$；$y=\tan 2x$ 是奇函数；$y=\cos 2x$ 是偶函数，但周期为 $\pi$。因此符合条件的是选项 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期与偶函数的判定

核心方法：$y={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$，周期 $\frac{\pi }{2}$ 且为偶函数，选 B

避坑指南：化简后判周期与奇偶

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的性质

结论推广：一般地，${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$

方法推广：化简后判周期奇偶

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-06 填-三角函数的最小正周期
• 2000-上海文-08 填-周期偶函数的解析式
• 2003-大纲文-08 单-三角偶函数定参