1997-全国卷理-05 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及两角差的正弦公式。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 函数 $y=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)+\cos 2x$ 的最小正周期是 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

展开第一项：利用两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 将 $\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$ 展开。 合并同类项：将展开后的式子与后面的 $\cos 2x$ 项合并，化为关于 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的线性组合。 辅助角公式化简：应用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$ 将函数化为单一的正弦型函数。 求周期：确定 $\omega$ 的值，利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 算得最小正周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

展开并化简函数式 根据两角差的正弦公式，将原函数中的第一项展开： $\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos 2x-\cos \frac{\pi }{3}\sin 2x$

代入特殊角三角函数值 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$： $\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x$

将此结果代回原函数： $y=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)+\cos 2x$ 合并 $\cos 2x$ 的同类项： $y=-\frac{1}{2}\sin 2x+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\cos 2x$

确定 $\omega$ 并求最小正周期 经过上述恒等变换，函数已化为 $y=A\sin (2x+\phi )$ 的形式。 此时，决定函数周期的自变量系数 $\omega$ 为： $\omega =2$

根据正弦型函数的周期计算公式，其最小正周期 $T$ 为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角差的正弦公式；正弦型函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。 核心方法：“三角恒等变形法”。 避坑指南：

• 本题求周期时，由于两个分项的自变量系数（均为 $2x$ 里的 $2$）相同，恒等变换后周期不变。因此，熟练的同学可以直接由 $\omega =2$ 得 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，不必具体算出振幅 $A$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的三角函数周期基础题，取材于高中数学教材中“两角和与差的正弦公式”以及“正弦型函数的图象与性质”章节后的巩固题。 结论推广：对于形如 $y=a\sin (\omega x+{\phi }_1)+b\cos (\omega x+{\phi }_2)$ 的函数，当两者的角频率 $\omega$ 相同时，其和仍是周期函数，且最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-06 填-三角函数的最小正周期
• 1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定
• 2004-江苏卷-02 单-三角函数的最小正周期