本题导读
本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 设 是 上的奇函数，，当 时，，则 等于 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
求出函数的周期：由已知递推式 ，再代入一次得到 ，由此判定其具有周期性，并求出周期 。 利用周期化简自变量：利用周期 ，对目标自变量 7.5 减去 4 的整数倍，使其落入靠近原点、便于利用奇偶性处理的区间。 结合奇偶性转化到已知区间：利用 ，将负自变量转化为正自变量，最终化到已知定义区间 的解析式。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
推导函数的周期性 因为对于任意实数 ，都有 ， 将自变量 替换为 ，代入上式可得： 由此可知，函数 是一个以 为周期的周期函数。
利用周期性化简 根据周期函数的性质 ，将自变量减去一个周期 4： 继续减去一个周期 4：
结合奇偶性与已知区间解析式求值 因为已知 是 上的奇函数，满足 ，所以：
此时 。 由已知，当 时，，代入 可得：
所以，最终结果为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：由递推式 推导周期 ；奇函数性质 与区间解析式的联合代换。 核心方法：“区间化归法”。处理此类抽象周期函数求值时，通过周期的加减运算，把自变量化到已知解析式的区间内（通常是原点附近）。 避坑指南：
- 符号遗漏陷阱：极易错选 A。算到 时，若直接将其等价为 并套用周期对称规律认为它等于 ，容易漏掉奇函数提取出来的负号。
- 确保每一次周期变换时，周期常数 保持完整代入。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于函数板块中经典的客观题，取材于教材中“函数的奇偶性、周期性综合应用”的复习拓展题，是考查函数性质综合应用的基本题型。 结论推广： 若函数满足下列关系，均可推出周期 ：
- 若 （本题模型）；
- 若 ；
- 若 。 若再规定 为奇函数，则在各周期区间内其解析式呈正负交替。掌握这一周期转化方法，遇到求 或 之类的大数值抽象函数题时可快速求解。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)