1997-全国卷文-13 单-奇偶函数与单调性的不等式

本题导读

本题考查奇偶函数与单调性，以及由函数性质判断不等式。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 定义在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数 $f(x)$ 为增函数，偶函数 $g(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 的图象与 $f(x)$ 的图象重合，设 $a>b>0$，给出下列不等式：

① $f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)$； ② $f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)$； ③ $f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)$； ④ $f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)$. 其中成立的是 ()

A. ①与④　　　　　B. ②与③　　　　　C. ①与③　　　　　　D. ②与④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性把 $f(-a)$、$g(-b)$ 化为正自变量。
2. 利用单调性比较大小。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因 $f$ 为奇函数，$f(-a)=-f(a)$、$f(-b)=-f(b)$；$g$ 为偶函数，$g(-b)=g(b)$、$g(-a)=g(a)$，且 $a>b>0$ 时 $g(a)=f(a)$、$g(b)=f(b)$。对①：$f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)>f(a)-f(b)=g(a)-g(-b)$，等价于 $2f(b)>0$，因 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 递增且 $f(0)=0$，$f(b)>0$ 成立，①对。对③：$f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)>f(b)-f(a)=g(b)-g(-a)$，同样成立，③对。故①与③成立，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶函数与单调性的不等式

核心方法：$f$ 奇增、$g$ 偶且在 $[0,+\infty )$ 与 $f$ 重合，$a>b>0$ 时 $f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)>g(a)-g(-b)=f(a)-f(b)$ 等价 $f(b)>0$，①成立；同理③成立，选 C

避坑指南：利用奇偶性同号转化

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的奇偶性与单调性

结论推广：一般地，利用奇偶性把自变量化到同号

方法推广：奇偶性同号转化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定
• 2002-上海卷文-15 单-分段奇偶函数图象