本题导读
本题考查函数的奇偶性，以及函数的构造与分解。
📌【题干】
Question
（1994年全国卷(理)） 定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，如果 ，那么 ()
A.
B.
C.
D.
🔍【思路分析】
破题导航
运用通用构造公式：已知 ，其中 为奇函数， 为偶函数。利用自变量换元代入 ，可得 。联立两个方程组即可解出通项： 代入化简：将已知 及其对应的 代入上述公式，利用对数的加减法法则（积商性质）进行化简，最后对照选项。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
写出 的表达式并化简 利用对数的商性质展开：
计算奇函数分量 根据通用构造公式，奇函数分量为： 将 代入上式：
计算偶函数分量 根据通用构造公式，偶函数分量为： 或者是直接利用 ：
(注：若将 代入通式化简，可得 ，结果完全一致。)
对比选项，C 选项符合要求。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：
- 奇偶分解定理：任何定义域关于原点对称的函数 都可以唯一分解为一个奇函数和一个偶函数之和。
- 对数恒等变形：，以及 。 核心方法：方程组思想。通过对自变量取相反数构造出对偶方程组，从而实现未知函数的整体剥离。 避坑指南：在化简 时，直接保留 的形式去和 进行加减，容易导致对数号内部产生多项式乘法，如 ，这会使代数式变得极其臃肿，增大化简难度。最有效率的策略是优先把 化为 并提出分母中的 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题考查函数概念与基本初等函数的综合性质，源自大学高等数学中关于“双曲正弦函数 （奇函数）”与“双曲余弦函数 （偶函数）”的构造思想，其背景深刻，但在高中阶段通过简单的代数方程组即可完美解决。 结论推广：对于任何形如 的函数，其奇偶分解项均为：
- 奇函数分量：
- 偶函数分量： 该结论在处理以指数与对数复合为背景的函数选择题时具有普遍的指导意义。
🔗【关联脉络】
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