2000-上海文-08 填-周期偶函数的解析式

本题导读

本题考查函数的周期性与奇偶性，以及由对称性求区间上的解析式。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 设函数 $y=f(x)$ 是最小正周期为 $2$ 的偶函数，它在区间 $[0,1]$ 上的图象为如图所示的线段 $AB$，则在区间 $[1,2]$ 上 $f(x)=$　　　．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $[0,1]$ 上 $f(x)=2-x$。
2. 偶函数 + 周期 $2$：$f(x)=f(x-2)$。
3. $x\in [1,2]$ 时 $2-x\in [0,1]$。

✅【答案】

Success

$x$

✍【详细解析】

Abstract

线段 $AB$ 过点 $A(0,2)$、$B(1,1)$，故 $[0,1]$ 上 $f(x)=2-x$．当 $x\in [1,2]$ 时，$2-x\in [0,1]$，且由偶函数得 $f(2-x)=f(x-2)$，又周期为 $2$，$f(x-2)=f(x)$，故 $f(x)=f(2-x)=2-(2-x)=x$．所以在区间 $[1,2]$ 上 $f(x)=x$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期偶函数的解析式

核心方法：$f$ 偶且周期 $2$，$f(x)=f(x-2)$；$x\in [1,2]$ 时 $2-x\in [0,1]$，$f(x)=f(2-x)=2-(2-x)=x$

避坑指南：偶函数 + 周期定对称区间解析式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的周期性与奇偶性

结论推广：一般地，偶且周期 $T$：$f(x)=f(T-x)$

方法推广：对称迁移求区间解析式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-12 单-函数奇偶性与周期性
• 2004-福建文-11 单-周期偶函数比大小
• 2002-北京卷文-03 单-周期与单调性

专题合集 (Series)