1997-上海理-08 填-三角方程的解的个数

本题导读

本题考查三角方程的解的个数，以及周期内解的分布。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 方程 $\sin 2x=\frac{1}{2}$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 内解的个数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin 2x=\frac{1}{2}$ 求 $2x$ 的通解。
2. 在 $2x\in [-4\pi ,4\pi ]$ 内数解的个数。

✅【答案】

Success

$8$

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 2x=\frac{1}{2}$，则 $2x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 或 $2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$），即 $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ 或 $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$。因 $2x\in [-4\pi ,4\pi ]$，即 $x\in [-2\pi ,2\pi ]$，每个周期 $[\text{长度 }\pi ]$ 内有 $2$ 个解，区间长度为 $4\pi$ 共 $4$ 个周期，故有 $8$ 个解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的解的个数

核心方法：$\sin 2x=\frac{1}{2}$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$，$2x\in [-4\pi ,4\pi ]$，每周期 2 个解，共 4 个周期 × 2 = 8 个解

避坑指南：周期内解的个数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角方程

结论推广：一般地，$2x$ 范围决定解的个数

方法推广：周期内解的个数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-05 单-三角函数的最小正周期
• 1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定
• 2004-上海卷文-14 单-三角方程解集