1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积

本题导读

本题考查圆锥的体积，以及由侧面展开图圆心角求底面半径。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 圆锥母线长为 $1$，侧面展开图圆心角为 $240^{\circ }$，该圆锥的体积是 ()

A.$\frac{2\sqrt{2}\pi }{81}$　　B.$\frac{8\pi }{81}$　　C.$\frac{4\sqrt{5}\pi }{81}$　　D.$\frac{10\pi }{81}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由展开图弧长等于底面周长求底面半径。
2. 由母线、半径求高，再求体积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

母线长 $l=1$，展开图圆心角 $240^{\circ }=\frac{4\pi }{3}$，故展开图弧长为 $l\cdot \frac{4\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$，它等于底面周长 $2\pi r$，得 $r=\frac{2}{3}$。圆锥高 $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}\pi }{81}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的侧面展开与体积

核心方法：母线 $l=1$，圆心角 $240^{\circ }=\frac{4\pi }{3}$，则 $2\pi r=\frac{4\pi }{3}$ 得 $r=\frac{2}{3}$，高 $h=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}\pi }{81}$，选 C

避坑指南：由展开图定半径再算体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥的结构

结论推广：一般地，展开图弧长=底面周长定半径

方法推广：展开图定半径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-07 单-圆锥侧面展开图的圆心角
• 1999-全国卷文-07 单-圆柱与倒圆锥的体积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积