1999-全国卷理-07 单-圆柱与倒圆锥的体积

本题导读

本题考查柱体与锥体的体积公式，以及旋转体轴截面的几何特征。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 将若干毫升水倒入底面半径为 $2\text{ cm}$ 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 $6\text{ cm}$，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是()

A. $6\sqrt{3}\text{ cm}$　　　　B. $6\text{ cm}$　　　　C. $2\sqrt[3]{18}\text{ cm}$　　　　D. $3\sqrt[3]{12}\text{ cm}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算水的总体积：已知圆柱形器皿的底面半径 $r_{\text{柱}}=2$、水面高度 $h_{\text{柱}}=6$。利用圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$ 直求水的实际体积。
2. 分析倒圆锥水面几何构型：倒圆锥的轴截面为正三角形，意味着该圆锥的母线长、底面直径以及高满足固定的特殊直角三角形（含有 $30^{\circ },60^{\circ }$ 角）的边长比例。当水倒入后，内部水体构成一个小圆锥，其轴截面同样是正三角形。
3. 建立半径与高度的比例关系：设倒入后水面的高度（水深）为 $h$，则水面圆半径 $r$ 与高度 $h$ 满足 $r=h\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}h$。
4. 利用体积守恒列方程：代入圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，令其等于圆柱内水的体积，解出 $h$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算水的总体积 $V$

根据圆柱体积公式，器皿中水的总体积为： $V=\pi \cdot r_{\text{柱}}^2\cdot h_{\text{柱}}=\pi \cdot 2^2\cdot 6=24\pi$

第二步：分析倒圆锥器皿内的水体几何量

将水倒入轴截面为正三角形的倒圆锥形器皿中。设倒入后水面的高度（即小圆锥的高）为 $h$，水面的圆半径为 $r$。 因为圆锥的轴截面是一个正三角形，所以水体组成的小圆锥的轴截面也是一个正三角形。 该正三角形的高为 $h$，底边长为水面直径 $2r$。

在解由高、半径、母线构成的直角三角形中，顶角的一半为 $30^{\circ }$，因此满足： $\frac{r}{h}=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹r=\frac{\sqrt{3}}{3}h$

第三步：体积守恒列方程求解

根据圆锥的体积公式，水体形成的圆锥体积为： $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

将 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}h$ 代入体积公式中： $V=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}h\right)}^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{9}{h}^2\cdot h=\frac{1}{9}\pi h^3$

由于水的总体积守恒，令两体积相等： $\frac{1}{9}\pi h^3=24\pi$

两边消去 $\pi$ 并同乘以 9： $h^3=24\times 9=216⟹h=\sqrt[3]{216}=6\text{ cm}$

所以，水面的高度是 $6\text{ cm}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$ 与圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$；轴截面概念在旋转体空间降维中的应用。
2. 核心方法：模型体积守恒法。把握住变化中“水的绝对体积不随容器形状改变而改变”这一等量核心纽带。
3. 避坑指南：

• 圆锥体积公式漏乘 $\frac{1}{3}$：极易在列出圆锥体积时丢掉前面的 $\frac{1}{3}$，导致计算结果错选成 C 或 D。
• 空间比例搞错：轴截面为正三角形时，高 $h$、半径 $r$ 与母线 $l$ 组成的直角三角形中，高对的是 $60^{\circ }$ 角，半径对的是 $30^{\circ }$ 角，故 $h=\sqrt{3}r⟹r=\frac{\sqrt{3}}{3}h$，切勿记反写成 $r=\sqrt{3}h$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自新教材“立体几何初步”中有关旋转体（圆柱、圆锥）体积计算的经典应用题，侧重考查数形结合的基本素养。
2. 结论推广：若一底面半径为 $R$、高为 $H$ 的圆柱形液体，完全倒入一个轴截面顶角为 $2\theta$ 的倒圆锥形容器中，则液体在圆锥内形成的新高度 $h$ 恒满足下列普适性通解公式： $h=\sqrt[3]{\frac{3R^{2}H}{{\tan }^2\theta }}$ 本题中 $2\theta =60^{\circ }⟹\theta =30^{\circ }$，${\tan }^{2}30^{\circ }=\frac{1}{3}$，代入验证：$h=\sqrt[3]{\frac{3\cdot 2^2\cdot 6}{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{9\cdot 24}=\sqrt[3]{216}=6\text{ cm}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积
• 2024-上海卷-17 解-圆锥的体积
• 1992-三南-02 单-等边圆柱的体积