1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及由准线与离心率确定 $a$、$b$。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 中心在原点，准线方程为 $x=\pm 4$，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆方程是 ()

A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$　　B.$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$　　C.$\frac{x^2}{4}+y^2=1$　　D.$x^2+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由准线 $\frac{a^2}{c}=4$ 与离心率 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 求 $a$、$c$。
2. 由 $b^2=a^2-c^2$ 求 $b$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm 4$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即 $c=\frac{a}{2}$。代入 $\frac{a^2}{c}=4$ 得 $\frac{a^2}{a/2}=2a=4$，故 $a=2$，$c=1$。$b^2=a^2-c^2=4-1=3$。椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由准线与离心率定椭圆方程

核心方法：准线 $x=\pm 4$ 即 $\frac{a^2}{c}=4$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 即 $c=\frac{a}{2}$，故 $\frac{a^2}{a/2}=2a=4$ 得 $a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$，方程 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，选 A

避坑指南：由准线与离心率解 a,b

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的标准方程

结论推广：一般地，准线 $\frac{a^2}{c}$、离心率 $\frac{c}{a}$ 联合定 $a,b$

方法推广：准线离心率解参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-15 填-椭圆的通径与离心率
• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标
• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程