1993-上海-26 解-椭圆与双曲线的焦点角

本题导读

本题考查椭圆与双曲线焦点角的综合。核心在于参数化椭圆上的点并求正切的极值。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 如图，$P$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 上的一个动点，它与长轴端点不重合，$a\ge \sqrt{2}$，点 $F_1$ 和点 $F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 的左焦点和右焦点，$\phi =\angle F_{1}P{F}_2$.

(1)求 $\tan \phi$ 的表达式（用 $a$ 及描述点 $P$ 位置的一个变量来表示）；

(2)当 $a$ 固定时，求 $\phi$ 的最小值 ${\phi }_0$；

(3)当 $a$ 在区间 $[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ 上变化时，求 ${\phi }_0$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

双曲线半焦距 $c=\sqrt{a^2+1}$，设 $P(a\cos \theta ,\sin \theta )$，用斜率差求 $\tan \phi$，均值求极值。

✅【答案】

Success

(1)$\tan \phi =-\frac{2\sqrt{a^2+1}\sin \theta }{(a^2-1){\sin }^2\theta +1}$；(2)${\phi }_0=\pi -\arctan \frac{\sqrt{a^2+1}}{a^2-1}$；(3)$\left[\frac{2\pi }{3},\pi -\arctan \sqrt{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）双曲线半焦距 $c=\sqrt{a^2+1}$，焦点 $F_1(-\sqrt{a^2+1},0)$、$F_2(\sqrt{a^2+1},0)$。设 $P(a\cos \theta ,\sin \theta )$（不妨 $0<\theta \le \frac{\pi }{2}$）。记 $\alpha =\angle P{F}_{2}x$、$\beta =\angle P{F}_{1}x$，则 $\phi =\alpha -\beta$。$P{F}_1$ 斜率 $k_1=\frac{\sin \theta }{a\cos \theta +\sqrt{a^2+1}}$，$P{F}_2$ 斜率 $k_2=\frac{\sin \theta }{a\cos \theta -\sqrt{a^2+1}}$，故 $\tan \phi =\tan (\alpha -\beta )=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}=-\frac{2\sqrt{a^2+1}\sin \theta }{(a^2-1){\sin }^2\theta +1}$。 （2）因 $a\ge \sqrt{2}$，$a^2-1\ge 1$，$\tan \phi <0$，$\frac{\pi }{2}<\phi <\pi$。$\tan (\pi -\phi )=\frac{2\sqrt{a^2+1}\sin \theta }{(a^2-1){\sin }^2\theta +1}=\frac{2\sqrt{a^2+1}}{(a^2-1)\sin \theta +\frac{1}{\sin \theta }}\le \frac{\sqrt{a^2+1}}{a^2-1}$（均值不等式，等号当 $(a^2-1)\sin \theta =\frac{1}{\sin \theta }$）。因 $0<\pi -\phi <\frac{\pi }{2}$ 且正切在此区间递增，$\pi -\phi \le \arctan \frac{\sqrt{a^2+1}}{a^2-1}$，故 ${\phi }_0=\pi -\arctan \frac{\sqrt{a^2+1}}{a^2-1}$。 （3）${\phi }_0=\pi -\arctan \sqrt{1+\frac{2}{a^2-1}}$。由 $\sqrt{2}\le a\le \sqrt{3}$ 得 $1\le a^2-1\le 2$，$1\le \frac{2}{a^2-1}\le 2$，$\sqrt{2}\le \sqrt{1+\frac{2}{a^2-1}}\le \sqrt{3}$。由反正切单调性，$\arctan \sqrt{2}\le \arctan \sqrt{1+\frac{2}{a^2-1}}\le \arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$，故 $\frac{2\pi }{3}\le {\phi }_0\le \pi -\arctan \sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线的焦点角

核心方法：$\tan \phi =-\frac{2\sqrt{a^2+1}{y}_0}{(a^2-1)y_0^2+1}$；${\phi }_0=\pi -\arctan \frac{\sqrt{a^2+1}}{a^2-1}$；${\phi }_0\in [\frac{2\pi }{3},\pi -\arctan \sqrt{2}]$

避坑指南：焦点角用斜率差的正切，均值求极值，单调性求范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆与双曲线

结论推广：焦点角正切用斜率差，均值求极值

方法推广：参数化椭圆点再求极值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-28 解-椭圆方程的求解
• 1994-上海-24 解-椭圆方程与动点轨迹
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程