1992-三南-17 单-双曲线的准线距离

本题导读

本题考查双曲线的渐近线、焦点与准线，以及各几何量之间的关系。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 如果双曲线的两条渐近线的方程是 $y=\pm \frac{3}{2}x$，焦点坐标是 $(-\sqrt{26},0)$ 和 $(\sqrt{26},0)$，那么它的两条准线之间的距离是 ()

A. $\frac{8}{13}\sqrt{26}$　　　　　　B. $\frac{4}{13}\sqrt{26}$　　　　　　C. $\frac{18}{13}\sqrt{26}$　　　　　　D. $\frac{9}{13}\sqrt{26}$

🔍【思路分析】

破题导航

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，$b^2=\frac{9}{4}{a}^2$；$a^2+b^2=c^2=26$，得 $a^2=8$。两准线距离 $\frac{2a^2}{c}=\frac{16}{\sqrt{26}}=\frac{8\sqrt{26}}{13}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。由渐近线斜率得 $\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，即 $b^2=\frac{9}{4}{a}^2$。又焦点横坐标为 $\sqrt{26}$，故 $a^2+b^2=c^2=26$，即 $\frac{13}{4}{a}^2=26$，$a^2=8$。双曲线准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，两准线距离为 $\frac{2a^2}{c}=\frac{16}{\sqrt{26}}=\frac{8\sqrt{26}}{13}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的准线距离

核心方法：$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，$a^2+b^2=26$，$a^2=8$，两准线距 $\frac{2a^2}{c}=\frac{8\sqrt{26}}{13}$

避坑指南：渐近线斜率定 $a,b$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线渐近线、焦点与准线关系

结论推广：渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，$c^2=a^2+b^2$，准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$

方法推广：几何量关系联立

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-02 单-双曲线的离心率与准线
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程
• 1992-全国文-23 填-双曲线的方程