1990-上海卷-09 填-双曲线的准线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质（准线方程）。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 双曲线 $2m{x}^2-m{y}^2=2$ 的一条准线是 $y=1$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点轴向：题目给出双曲线的一条准线方程为 $y=1$，这是一条水平直线（平行于 $x$ 轴），表明该双曲线的焦点位于 $y$ 轴上。
2. 化方程为标准形式：焦点在 $y$ 轴上的双曲线标准方程形式为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。需将已知方程 $2m{x}^2-m{y}^2=2$ 两边同除以 2，并整理项的顺序与分式结构。
3. 提取基本元并建立方程：从标准方程中识别出 $a^2$ 和 $b^2$ 关于 $m$ 的代数式。利用关系式 $c^2=a^2+b^2$ 表示出半焦距 $c$。最后根据准线公式 $y=\pm \frac{a^2}{c}$，令 $\frac{a^2}{c}=1$ 解出 $m$。

✅【答案】

Success

$-\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

已知的一条准线是 $y=1$，准线垂直于 $y$ 轴，故双曲线的焦点在 $y$ 轴上。 将 $2m{x}^2-m{y}^2=2$ 两边同除以 $2$，得 $m{x}^2-\frac{m}{2}{y}^2=1$，改写成标准形式： $\frac{y^2}{-\frac{2}{m}}-\frac{x^2}{-\frac{1}{m}}=1.$ 与 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 对照，得 $a^2=-\frac{2}{m}$，$b^2=-\frac{1}{m}$；由 $a^2>0$ 知 $m<0$。 于是 $c^2=a^2+b^2=-\frac{3}{m}$，$c=\sqrt{-\frac{3}{m}}$。 焦点在 $y$ 轴上，准线为 $y=\pm \frac{a^2}{c}$。由其中一条是 $y=1$ 得 $\frac{a^2}{c}=1$，即 $a^2=c$： $-\frac{2}{m}=\sqrt{-\frac{3}{m}}.$ 令 $u=-\frac{1}{m}>0$，则 $2u=\sqrt{3u}$；两边平方得 $4u^2=3u$，$u>0$ 故 $u=\frac{3}{4}$，即 $m=-\frac{4}{3}$。 检验：$m=-\frac{4}{3}$ 时原方程化为 $\frac{y^2}{3/2}-\frac{x^2}{3/4}=1$，$a^2=\frac{3}{2}$，$c=\frac{3}{2}$，准线 $y=\pm 1$，符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程的结构变形，焦点在 $y$ 轴上的准线位置公式 $y=\pm \frac{a^2}{c}$。
2. 核心方法：标准型对齐法。解决此类圆锥曲线含参题目，第一步必须无条件化为右端项为 1 的标准方程，这样才能暴露出真正的 $a^2$ 和 $b^2$。
3. 避坑指南：
   • 忽略焦点轴向错套公式：如果看错准线形式，误把方程当做焦点在 $x$ 轴上的情况（套用 $x=\pm \frac{a^2}{c}$），会导致后续全盘皆输。
   • 丢掉负号产生无解错觉：在变形得到 $a^2=-\frac{2}{m}$ 时，部分考生会因为看到负号而慌乱，没有意识到 $m$ 本身可以为负数（$-m$ 为正）。代数运算中必须严格带号推进。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线大类中对基础几何性质逆向应用的填空题，直接源自教材中“双曲线的几何性质”关于准线概念的综合练习题。
2. 结论推广：对于方程形式为 $A{x}^2+B{y}^2=1$ 的圆锥曲线：
   • 若 $AB<0$，则其必为双曲线；
   • 若已知准线为 $y=k$ ($k>0$)，说明 $B<0<A$，其标准式为 $\frac{y^2}{-1/B}-\frac{x^2}{1/A}=1$。 可以通过通用推导得出准线距离与系数的直接通项映射： $k=\frac{a^2}{c}=\frac{-1/B}{\sqrt{-1/B+1/A}}$。这体现了曲线二次型系数矩阵对解空间边界（准线位置）的直接控制律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-三南-17 单-双曲线的准线距离
• 1992-全国文-23 填-双曲线的方程
• 1992-全国卷理-22 填-双曲线的方程与离心率