1992-全国卷理-22 填-双曲线的方程与离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及坐标平移（非标准中心双曲线）。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 焦点为 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(6,0)$，离心率为 2 的双曲线的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求中心坐标与半焦距：两焦点连线的中点即为双曲线的中心 $M(x_0,y_0)$。两焦点间的距离等于 $2c$，由此计算出基本参数 $c$ 的值。
2. 计算基本几何参数 $a$ 和 $b$：利用离心率通式 $e=\frac{c}{a}=2$，代入 $c$ 算出 $a$，进而利用双曲线内部恒等式 $b^2=c^2-a^2$ 算出 $b^2$。
3. 建立平移方程：由于两焦点在 $x$ 轴上（纵坐标均为 0），说明实轴平行于 $x$ 轴。将标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 沿中心 $(x_0,y_0)$ 进行平移代换，得到最终方程。

✅【答案】

Success

$\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据两焦点的坐标 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(6,0)$：

1. 确定中心坐标：双曲线的中心 $M$ 为两焦点的中点，其坐标为： $x_0=\frac{-2+6}{2}=2,y_0=\frac{0+0}{2}=0$ 即中心坐标为 $M(2,0)$。

2. 计算焦距及参数 $c$：两焦点之间的距离为 $2c$，则： $2c=|6-(-2)|=8⟹c=4$

3. 计算参数 $a$ 和 $b$：已知双曲线的离心率 $e=2$，根据公式 $e=\frac{c}{a}$ 有： $\frac{4}{a}=2⟹a=2⟹a^2=4$ 根据双曲线中 $a,b,c$ 的几何方幂关系 $c^2=a^2+b^2$，可得： $b^2=c^2-a^2=4^2-2^2=16-4=12$

4. 写出双曲线方程：因为两焦点的纵坐标均为 0（在 $x$ 轴上），所以双曲线的实轴平行于 $x$ 轴。 将中心在原点、实轴在 $x$ 轴上的标准双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 向右平移 2 个单位（即把 $x$ 替换为 $x-2$）： $\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的离心率、半焦距计算，中心不在原点的圆锥曲线方程的平移表示法。
2. 核心方法：中心中点定位法与平移换元法。
3. 避坑指南：容易由于思维定势，直接把两焦点坐标中的 6 当成 $c$，或者直接套用中心在原点的标准方程写出 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。做题时务必先通过两焦点坐标检验中心是否在原点 $(0,0)$，若不在，必须采用坐标平移式 $(x-x_0{)}^2$ 进行修正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块的经典基础填空题。取材于高中解析几何教材中关于“双曲线的几何性质”及“坐标轴平移”章节的典型基本功考核题。
2. 结论推广：对于任何焦点在水平线 $y=y_0$ 上，且关于中心 $M(x_0,y_0)$ 对称的双曲线，其通式方程可规范推广推广为： $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$ 本题即为该推广数学模型在 $y_0=0$ 时的直接体现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-02 单-双曲线的离心率与准线

• 1993-旧高考文-01 单-双曲线的离心率

• 1994-上海-07 填-双曲线的焦点坐标