1996-上海文-09 填-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解，以及真数的检验。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 方程 ${\log }_2(9^x-5)={\log }_2(3^x-2)+2$ 的解是 $x=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把 $2$ 化为 ${\log }_{2}4$ 合并。
2. 令真数相等求解，并检验。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_2(9^x-5)={\log }_2(3^x-2)+2={\log }_2(3^x-2)+{\log }_{2}4={\log }_2[4(3^x-2)]$。故 $9^x-5=4(3^x-2)$，即 $(3^x{)}^2-4\cdot 3^x+3=0$，令 $t=3^x$ 得 $t^2-4t+3=0$，$t=1$ 或 $t=3$。$t=1$ 时 $3^x=1$，$x=0$，但此时 $3^x-2=-1<0$ 不合真数，舍去；$t=3$ 时 $x=1$，$9-5=4>0$、$3-2=1>0$，成立。故 $x=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：${\log }_2(9x-5)={\log }_2(3x-2)+2={\log }_2(4(3x-2))$，得 $9x-5=12x-8$，$x=1$；检验 $9x-5=4>0$、$3x-2=1>0$，成立

避坑指南：对数相等化真数相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数方程

结论推广：一般地，对数相等化真数相等并检验

方法推广：对数相等化真数相等

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-01 填-对数的运算
• 1999-上海文-09 填-对数的换底公式
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