1994-上海文-05 填-复数的实部与虚部

本题导读

本题考查对数方程的求解，以及换底后验真数。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(文)） 方程 ${\log }_3(x-1)={\log }_9(x+5)$ 的解是 $\underline{}$..

🔍【思路分析】

破题导航

1. 换底化同底。
2. 去对数后解方程并验真数。

✅【答案】

Success

$x=4$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_9(x+5)=\frac{1}{2}{\log }_3(x+5)$，故 $2{\log }_3(x-1)={\log }_3(x+5)$，即 $(x-1{)}^2=x+5$，得 $x^2-3x-4=0$，解得 $x=4$ 或 $x=-1$；因 $x-1>0$ 需 $x>1$，故 $x=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的实部与虚部

核心方法：$\frac{2+bi}{1-2i}=\frac{(2+bi)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{(2-2b)+(4+b)i}{5}$，实部虚部相等：$2-2b=4+b$，解得 $b=-\frac{2}{3}$

避坑指南：分母实数化再比较实虚部

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的运算

结论推广：一般地，分母实数化再比较实虚部

方法推广：分母实数化再比较实虚部

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解
• 1996-上海理-09 填-对数方程的求解
• 1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解