1995-全国卷文-17 填-球内接圆台的体积之比

本题导读

本题考查球内接圆台的体积计算，以及轴截面中的比例关系。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为 $\frac{\pi }{3}$，则圆台的体积与球体积之比为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 轴截面中设球半径 $R$、圆台上底半径 $r$，由条件定 $R$ 与 $r$、高 $h$ 的关系。
2. 写出两个体积作比。

✅【答案】

Success

$\frac{7\sqrt{3}}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$，圆台上底半径为 $r$，高为 $h$。下底面过球心，故下底半径为 $R$。母线与底面成 $\frac{\pi }{3}$，在轴截面中，母线在水平方向的投影为 $R-r$，故 $h=(R-r)\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}(R-r)$。圆台轴截面梯形的上顶点在球面上，母线长满足 $(R-r{)}^2+h^2=(\text{母线}{)}^2$，且上底圆周在球面上：球心到上底圆心的距离为 $R-h$，故 $r^2+(R-h{)}^2=R^2$。代入 $h=\sqrt{3}(R-r)$ 解得 $R=2r$，$h=\sqrt{3}r$。于是 $V_{台}=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\sqrt{3}\pi r}{3}\cdot 7r^2=\frac{7\sqrt{3}\pi r^3}{3}$，$V_{球}=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{32\pi r^3}{3}$。体积比为 $\frac{7\sqrt{3}}{32}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球内接圆台的体积之比

核心方法：轴截面解得 $R=2r$、$h=\sqrt{3}r$，$\frac{V_{台}}{V_{球}}=\frac{\frac{7\sqrt{3}\pi r^3}{3}}{\frac{32\pi r^3}{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{32}$

避坑指南：轴截面定比例后作比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材旋转体与球

结论推广：一般地，球内接旋转体问题在轴截面中用勾股定比例

方法推广：轴截面定比例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积
• 1996-上海文-18A 填-旋转体的体积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积