1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解，以及对数运算性质与真数限制的兼顾。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 方程 ${\log }_2(x+1{)}^2+{\log }_4(x+1)=5$ 的解是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 注意 ${\log }_4(x+1)$ 要求 $x+1>0$，故 $(x+1{)}^2$ 的真数限制可化为对 $x+1$ 取对数。
2. 统一化为以 2 为底解方程。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_4(x+1)$ 有意义知 $x+1>0$，故 ${\log }_2(x+1{)}^2=2{\log }_2(x+1)$。设 $u={\log }_2(x+1)$，则 ${\log }_4(x+1)=\frac{1}{2}{\log }_2(x+1)=\frac{u}{2}$。原方程化为 $2u+\frac{u}{2}=5$，即 $\frac{5}{2}u=5$，$u=2$。于是 ${\log }_2(x+1)=2$，$x+1=4$，$x=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：由 ${\log }_4(x+1)$ 知 $x+1>0$，原式 $=\frac{5}{2}{\log }_2(x+1)=5$，$x+1=4$，$x=3$

避坑指南：换元统一底数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数方程

结论推广：一般地，对数方程先定真数范围，换元统一底数后求解

方法推广：定域后换元

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解
• 1997-上海文-07 填-对数方程的求解
• 1996-上海理-09 填-对数方程的求解