1992-全国卷理-01 单-对数的运算与换底

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及对数的换底公式。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） $\frac{{\log }_{8}9}{{\log }_{2}3}$ 的值是 ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　　　B. 1　　　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数与真数：观察分子分母，底数 8 和 2、真数 9 和 3 均存在明显的幂次关系，即 $8=2^3$， $9=3^2$。
2. 提取指数幂：利用对数性质 ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$，将分子的指数部分提取至对数符号前方。
3. 约分求值：将分子变形为含 ${\log }_{2}3$ 的形式，与分母直接约分得出结论。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 对分子 ${\log }_{8}9$ 进行化简： ${\log }_{8}9={\log }_{2^3}{3}^2$

根据对数的运算性质 ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$（其中 $a>0,a\ne 1,b>0$），可得： ${\log }_{2^3}{3}^2=\frac{2}{3}{\log }_{2}3$

将化简结果代回原式中： $\frac{{\log }_{8}9}{{\log }_{2}3}=\frac{\frac{2}{3}{\log }_{2}3}{{\log }_{2}3}=\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的换底公式及其推论。
2. 核心方法：底数、真数化同法。
3. 避坑指南：熟记性质公式 ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$，注意底数的幂次 $m$ 提取到前面时位于分母位置，真数的幂次 $n$ 提取到前面时位于分子位置，切勿将位置颠倒错选为 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于对数运算板块的经典基础题。取材于高一数学必修中“对数与对数函数”一节的课后基础练习题，旨在考查对数基本恒等变换的熟练度。
2. 结论推广：对于任意满足条件的底数与真数，有通用变换式 $\frac{{\log }_{a^m}{b}^n}{{\log }_{a}b}=\frac{n}{m}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-16 单-指数等式的对数化

• 1994-上海-04 填-对数方程的求解

• 1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解